Question

как такое решается?
$x^{x} = 4^{x+3}$

Подробное решение с получением численного результата (калькулятор не рулит) пожалуйста покажите, нужно понимание процесса... графическое решение тоже не пойдёт. + объясните что такое "трансцендентное уравнение".

Answer 1

Прологарифмируем это уравнение и получим, что надо решить уравнение f(x)=0, где $f(x)=x\ln x-(x+3)\ln 4$
Делаем по методу Ньютона:
$f'(x)=1+\ln x-\ln 4$
Тогда $x-f(x)/f'(x)=x- \frac{x\ln x-(x+3)\ln 4}{1+\ln x-\ln 4}= \frac{x+\ln 64}{1+\ln(x/4)}.$
Т,е. получаем итерации $x_{n+1}= \frac{x_n+\ln 64}{1+\ln(x_n/4)}$.
Если взять начальное приближение $x_0=7,$ то
$x_1=7,1548923585413945453$
$x_2=7,1538166805454021839$
$x_3=7,1538166294096348271$
$x_4=7,1538166294096347117$
и т.д.  Следующие итерации уже дают те же самые знаки, что понятно, т.к. метод Ньютона имеет второй порядок сходимости, т.е. на каждой итерации число верных знаков после запятой удваивается.

Есть уравнения алгебраические а есть уравнения трансцендентные. Алгебраические - это уравнения, которые сводятся к виду P(x)=0, где P - многочлен. Т.е. это квадратное, кубическое, а также все уравнения с корнями. Трансцендентные - это все остальные уравнения. Т.е. те, в которых участвуют и другие функции типа sin, cos, ln и т.д.