Question

Из нескольких одинаковых кубиков Вася сложил большой куб и покрасил его грани. Оказалось, что число кубиков с одной покрашенной гранью равно числу кубиков, у которых покрашенных граней нет (и при этом не равно 0). Сколько маленьких кубиков использовал Вася?

Answer 1

заметим что существует три вида кубиков , которые расположены так что , одни имеют $3$ покраски , $2$ покраски , и одну это угловые реберные и серединные кубики.
Если правильно понял задачу, он красит каждую грань , в один цвет , значит , выходит достаточно кубика $3*3*3$ , и покрасить его две грани , тогда остается , 12 не покрашенных кубиков , то есть $27$
 
 Если же понимать как все  кубики , то очевидно учитывая выше сказанное ,  кубики будут не покрашенные ,  только те , которые находятся внутри кубика, если положить что размер куба $n*n*n$    то центральных будет $1)\\ 6(n-2)^2$ , а те внутри кубика   $2) (n-2)^3$
 Приравнивая $(1)=(2) \\ n=8$   
      
  То есть   $8^3$ кубиков 
 
  Извините если повторился   

Answer 2

Пусть размер куба n x n x n квадратиков.
У 8 кубиков на углах - по 3 покрашенные грани.
У 12*(n - 2) = 12n - 24 кубиков вдоль ребер - по 2 покрашенные грани.
На каждой грани кубики, покрашенные на 2 и на 3 грани, идут по краям.
1 грань покрашена у кубиков внутри граней большого куба.
Это квадрат без рамки, то есть (n - 2)^2
Всего 6(n - 2)^2 = 6n^2 - 24n + 24 кубиков имеют по 1 покрашенной грани.
Это всё на кнешней поверхности куба. А совсем непокрашенные кубики находятся внутри, и их всего (n - 2)^3 = n^3 - 6n^2 + 12n - 8
Уравнение
n^3 - 6n^2 + 12n - 8 = 6n^2 - 24n + 24
n^3 - 12n^2 + 36n - 32 = 0
n^3 - 2n^2 - 10n^2 + 20n + 16n - 32 = 0
(n - 2)(n^2 - 10n + 16) = 0
(n - 2)(n - 2)(n - 8) = 0
Так как n не может равняться 2, то единственный ответ:
n = 8
Ответ: Вася использовал 8*8*8 = 512 кубиков.