Question

Два проводящих шарика радиусами R1=1 см и R2=2 см соответственно заряжены до потенциалов Ф1=2 В и Ф2=4 В соединяются металлическим проводом. Чему равен потенциал соединенных проводом шаров?

Answer 1

Потенциал шара радиусом R, заряженного зарядом q, в ваккуме определяется так:
$\phi= \frac{q}{4 \pi \epsilon_0 R }$
ε₀ - диэлектрическая постоянная 8,85*10⁻¹² Ф/м
Соответственно до соединения для 1-го шара:
$\phi_1= \frac{q_1}{4 \pi \epsilon_0 R_1 }$  (1)
Для 2-го:
$\phi_2= \frac{q_2}{4 \pi \epsilon_0 R_2 }$  (2)
После соединения их потенциалы равны и равны φ₃:
$\phi_3= \frac{q_{12}}{4 \pi \epsilon_0 R_1 }= \frac{q_{22}}{4 \pi \epsilon_0 R_2 }$  (3)
Где q₁₂ и q₂₂ заряды шаров после соединения проводом.
В общем, если бы мы знали q₁₂ и q₂₂ мы бы потенциал вычислили. НО мы их не знаем. Зато мы можем сказать, что суммарный заряд системы шаров не изменился (зарядом на проволочке пренебрегаем). Тогда
$q_1+q_2=q_{12}+q_{22}$ (4)
q₁, q₂ можно выразить из (1) и (2) соответственно. А вот из (3) Можно выразить например q₂₂ через q₁₂
$q_1=\phi_1 4 \pi \epsilon_0 R_1$ (5)
$q_2=\phi_2 4 \pi \epsilon_0 R_2$ (6)
$q_{12}=q_{22}\cdot \frac{R_2}{R_1}$  (7)
Так. Вот теперь выражения для зарядов из (5), (6), (7) подставляем в (4).
$\phi_1 4 \pi \epsilon_0 R_1+\phi_2 4 \pi \epsilon_0 R_2=q_{12}+q_{12} \cdot \frac{R_2}{R_1}$
$4 \pi \epsilon_0(\phi_1 R_1+\phi_2 R_2)=q_{12}(1+ \frac{R_2}{R_1} )$
Вот теперь можно определить q₁₂.
$q_{12}=4 \pi \epsilon_0(\phi_1 R_1+\phi_2 R_2)/(1+ \frac{R_2}{R_1} )$ (8)
Ну теперь заряд q₁₂ (8) подставим в (3)
$\phi_3=4 \pi \epsilon_0(\phi_1 R_1+\phi_2 R_2)/((4 \pi \epsilon_0 R_1)(1+ \frac{R_2}{R_1} ))=$
$=(\phi_1 R_1+\phi_2 R_2)/(R_1+R_2)=$

Подставляем числа,( см выражаем в м)
$\phi_3= \frac{(\phi_1 R_1+\phi_2 R_2)}{( R_1+ R_2 )}= \frac{(2 \cdot0,01+4 \cdot0,02)}{( 0,01+ 0,02)}\approx 3,33$ В