Question

Найти частное решение дифференциального уравнения:
y'' - 2y' - 8y' =0, если y=4, y'=10 при x=0

Answer 1

Xарактеристическое уравнение:

$\lambda ^2 -2\lambda -8=0; \ \ \ \lambda_{1,2}=\frac{2 \pm \sqrt{4+32}}{2}=\frac{2 \pm 6}{2} \\ \\ \lambda_1=4, \ \ \lambda_2=-2 \\ \\ y=C_1 \cdot e^{-2x} + C_2 \cdot e^{4x} \\ \\ y(0)=4 \\ C_1 \cdot e^{0} + C_2 \cdot e^0 =4; \ \ \ C_1+C_2 =4 \\ \\ y'=(C_1 \cdot e^{-2x} + C_2 \cdot e^{4x} )' = -2C_1 \cdot e^{-2x} + 4C_2e^{4x} \\ y'(0)=10; \ \ \ -2C_1 +4C_2 =10 \\ \\ \left \{ {{C_1+C_2 =4} \atop {-2C_1 +4C_2 =10}} \right. \left \{ {{C_1 +C_2=4} \atop {-C_1 +2C_2=5}} \right. \ \Rightarrow \ 3C_2=9$

$C_2=3 \\ \\ C_1=4-3=1 \\ \\ y=e^{-2x} + 3e^{4x}$