Question

докажите, что если числа N и 5N имеют одинаковые остатки при делении на 9 , то N делится на 9

Answer 1

N=9k+x => x=N-9k
5N=9m+x => x=5N-9m
N-9k=5N-9m
4N=9m-9k
4N=9(m-k)
Поскольку 9 не делится на 4, то скобка m-k делится на 4, а N делится на 9
ч.т.д.

Answer 2

$N=9k+R \\ 5N=9m+R \\ k,m \in Z \\ R=N-9k \\ R=5N-9m \\ 5N-9k=N-9m \iff 4N=9k-9m=9(k-m)=9z \\ z=k-m \in Z \\ 4N=9z \iff 9|N$
N  ДЕЛИТСЯ НА 9 ПОТОМУ ЧТО 4 ЧЁТНАЯ