Question

Найдите все значения а,при каждом из которых наименьшее значение функции f(x)=4ax+|x^2-10x+21|больше, чем -42.

Answer 1

Напишем неравенство
4ax + |x^2 - 10x + 21| > -42 - должно выполняться при любом х
|(x - 3)(x - 7)| + 4ax + 42 > 0
1) При x ∈ [3, 7] выражение под модулем будет < 0, то есть
|x^2 - 10x + 21| = -x^2 + 10x - 21
То есть ветви параболы направлены вниз, и ни при каком а значение не будет всегда положительным.

2) Значит, x ∈ (-oo; 3) U (7; +oo), тогда
|x^2 - 10x + 21| = x^2 - 10x + 21
Подставляем
x^2 - 10x + 21 + 4ax + 42 = x^2 + 2x(2a - 5) + 63 = 0
Если это выражение всегда положительно, то корней оно не имеет.
D/4 = (b/2)^2 - ac = (2a - 5)^2 - 1*63 = 4a^2 - 20a + 25 - 63 = 4a^2 - 20a - 38 < 0
2a^2 - 10a - 19 < 0
D1/4 = 5^2 - 2(-19) = 25 + 38 = 63 = (3√7)^2
a1 = (5 - 3√7)/2 ~ -1,47
a2 = (5 + 3√7)/2 ~ 6,47
Ответ: a ∈ ((5 - 3√7)/2; (5 + 3√7)/2), целые: -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6