Question

при всех значениях параметра а решите неравенство х^2 -(3а+1)х + 2а^2 +а < или равно 0

Answer 1

$x^{2}-(3a+1)x+(2a^{2}+a) leq 0$
$x^{2}-(3a+1)x+(2a^{2}+a)=0$
$D=(3a+1)^{2}-4(2a^{2}+a)=9a^{2}+6a+1-8a^{2}-4a=a^{2}+2a+1=(a+1)^{2} geq 0$ - при любых а.

Если D=0, то а=-1, тогда неравенство примет вид:
$x^{2}+2x+1leq0$
$(x+1)^{2}leq0$ - решение будет, если выражение обернется в 0, т.е. х=-1 при а=-1.

Если D>0, то a≠ -1, тогда:
$x_{1}= frac{3a+1+ sqrt{(a+1)^{2}}}{2}=frac{3a+1+|a+1|}{2}$
$x_{2}= frac{3a+1- sqrt{(a+1)^{2}}}{2}=frac{3a+1-|a+1|}{2}$

Если a>-1, то:
$x_{1}=frac{3a+1+a+1}{2}=frac{4a+2}{2}=2a+1$
$x_{2}=frac{3a+1-a-1}{2}=frac{2a}{2}=a$
Решением неравенства является: $a leq x leq 2a+1$

Если a<-1, то:
$x_{1}=frac{3a+1-a-1}{2}=frac{2a}{2}=a$
$x_{2}=frac{3a+1+a+1}{2}=frac{4a+2}{2}=2a+1$
Решением неравенства является: $2a+1 leq x leq a$