Question

Итак нужно доказать 1+1/2²+1/3²+...+1/n²<1.75 при любом значении n.
P.s. Довольно сложное задание но на него я ставлю 95 баллов.

Answer 1

Возьмем уравнение 4-ой степени
$x^{4} + a_{1} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{3} x} +a_{4} =0$
Допустим, что  $b_{1}, b_{2} , b_{3}, b_{4}$являются корнями этого уравнения. Тогда:
$(b_{1}-x)( b_{2}-x) (b_{3}-x) (b_{4}-x)=0$
Но если корни не равны 0 тогда:
$frac{(b_{1}-x)( b_{2}-x) (b_{3}-x) (b_{4}-x)}{ b_{1} b_{2} b_{3} b_{4} } =(1- frac{x}{ b_{1} } )( 1- frac{x}{ b_{2} }) (1- frac{x}{ b_{3} }) (1- frac{x}{ b_{4} })=0$
Далее возьмем некоторый полином бесконечной степени:
$sin(x)=x- frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} -...$
Теперь бесконечный полином:
 $frac{sin(x)}{x} =(1- frac{x}{ pi } )( 1+frac{x}{ pi }) (1- frac{x}{ 2 pi }) (1+ frac{x}{ 2 pi })...$
Преобразуем данное равенство:
$frac{sin(x)}{x} =(1- frac{x^2}{ pi ^2} )( 1-frac{x^2}{ 4pi^2 })...$
Отсюда мы получаем, что:
$(-1- frac{1}{4} - frac{1}{9} - ... )( frac{1}{ pi ^2} ) x^{2}$
Поскольку бесконечное произведение равно бесконечному ряду для $frac{sin(x)}{x}$, коэффициент при $x^{2}$ должен быть равен $- frac{1}{3!} = -frac{1}{6}$.
Приравняем коэффициенты и умножим полученное равенство на $-pi ^2$, из этого получим $1+ frac{1}{2^2} + frac{1}{3^2} + ...= frac{ pi ^2}{6} =1.644..$
Следуя из этого мы получаем что $1.644 textless 1.75$

Answer 2

1) Базис индукции: n=1
$1 textless 1.75$ - выполняется
2) Предположим что и при n=k оно тоже верно
1 + 1/2² + 1/3² + ... + 1/k² < 1.75
3) Индуционный переход
 n=k+1;
1 + 1/2² + 1/3² + ... + 1/k² + 1/(k+1)² < 1.75 + 1/(k+1)² = (7(k+1)² + 4)/(k+1)² = (7k² + 14k + 1)/(k+1)²