Question

Помогите с алгеброй, пожалуйста
Докажите, что значение выражения является целым числом:

Answer 1

$2^{1/2}(4+2 sqrt{2})^{1/3}*(3-2 sqrt{2})^{1/6}=\\= sqrt{2}* sqrt[3]{4+ sqrt{8}}* sqrt[6]{3- sqrt{8} }=\\= sqrt{2}* sqrt[3]{4+ sqrt{8} }* sqrt[3]{ sqrt{3- sqrt{8} } }=$
$= sqrt{2}* sqrt[3]{4+ sqrt{8} }* sqrt[3]{ sqrt{ frac{3+ sqrt{3^2-8} }{2} }- sqrt{ frac{3- sqrt{3^2-8} }{2} } }=\\= sqrt{2}* sqrt[3]{4+ sqrt{8} }* sqrt[3]{ sqrt{ frac{3+1}{2} - sqrt{ frac{3-1}{2} } } }=\\= sqrt{2}* sqrt[3]{4+ sqrt{8} }* sqrt[3]{ sqrt{2}-1 }=\\= sqrt{2}* sqrt[3]{(4+ sqrt{8})( sqrt{2}-1) }=\\= sqrt{2}* sqrt[3]{4 sqrt{2}+ sqrt{16}-4- sqrt{8} }=\\= sqrt{2}* sqrt[3]{4 sqrt{2}+4-4-2 sqrt{2} } }=$

$=sqrt{2}* sqrt[3]{2 sqrt{2} }=2^{1/2}*2^{1/3}*2^{1/6}=2^{1/2+1/3+1/6}=2^{6/6}=2^1=2\\2in Z$