Question

По условиям лотереи «Спортлото 6 из 45» Участник лотереи, угадавший 4, 5, 6 видов спорта из отобранных при случайном розыгрыше 6 видов спорта из 45, получает денежный приз. Найти вероятность: а) того, что будут угаданы 4 цифры; б) того, что будет получен денежный приз.

Answer 1

После розыгрыша лотереи окажется $6$ выигрышных номеров. Кроме них так же будут $39$ невыигрышных.

[N] Участник лотереи выбирает 6 номеров. Всего он может выбрать первый номер 45-тью способами, второй – 44-мя способами, третий 43-мя способами, четвёртый – 42-мя способами, пятый – 41-им способом и выбрать шестой – 40 способов. Причём существует некоторое число повторов, когда одну и ту же комбинацию выбрали в различном порядке. 6 номеров можно переставить 6! способами. Значит, общее число способов выбрать 6 номеров из 45 составит:

$N = frac{ 45 cdot 44 cdot 43 cdot 42 cdot 41 cdot 40 }{ 6 cdot 5 cdot 4 cdot 3 cdot 2 } = 11 cdot 43 cdot 21 cdot 41 cdot 20$ ;





[4] Попасть в один из выигрышных номеров можно 6-тю способами, попасть во второй выигрышный номер можно оставшимися 5-тю способами, попасть в третий выигрышный номер можно оставшимися 4-мя способами и попасть в четвёртый выигрышный номер можно оставшимися 3-мя способами. Причём существует некоторое число повторов, когда одну и ту же комбинацию 4 выигрышных выбрали в различном порядке. 4 номера можно переставить 4! способами. Значит, общее число способов выбрать 4 выигрышных номера из шести составит:

$N_4 = frac{ 6 cdot 5 cdot 4 cdot 3 }{ 4 cdot 3 cdot 2 } = 5 cdot 3$ ;


**[2]** Попасть в один из невыигрышных номеров можно 39-тью способами и попасть во второй невыигрышный номер можно оставшимися 38-мью способами. Причём существуют повторы, когда одну и ту же комбинацию 2 невыигрышных номеров выбрали в различном порядке. 2 номера можно переставить двумя способами. Значит, общее число способов выбрать 2 невыигрышных номера из 39-ти составит:

$N_2 = frac{ 39 cdot 38 }{ 2 } = 39 cdot 19$ ;



[4 из 6] Вероятность угадать РОВНО четыре номера в розыгрыше составит:

$P_4 = frac{ N_4 cdot N_2 }{ N } = frac{ 5 cdot 3 cdot 39 cdot 19 }{ 11 cdot 43 cdot 21 cdot 41 cdot 20 } = frac{ 39 cdot 19 }{ 11 cdot 43 cdot 7 cdot 41 cdot 4 } = frac{ 741 }{ 2 cdot 271502 } approx 0.001364 = 0.1364 %$ ;





[5 из 6] Попасть в пять выигрышных номеров можно 6-тю способами, в самом деле, это просто значит отбросить какой-то один из 6-ти выигрышных номеров. Значит, общее число способов выбрать 5 выигрышных номеров из шести составит: $N_5 = 6$ . Попасть в один из невыигрышных номеров можно 39-тью способами. Вероятность угадать РОВНО пять номеров в розыгрыше составит:

$P_5 = frac{ N_5 cdot N_1 }{ N } = frac{ 6 cdot 39 }{ 11 cdot 43 cdot 21 cdot 41 cdot 20 } = frac{ 39 }{ 11 cdot 43 cdot 7 cdot 41 cdot 10 } =$

$= frac{ 39 }{ 5 cdot 271502 } approx 0.00002873 = 0.002873 %$ ;




[6 из 6] Попасть в шесть выигрышных номеров можно лишь одним способом. Значит, общее число угадать 6 номеров составит: $P_6 = frac{ 1 }{ N } = frac{ 1 }{ 11 cdot 43 cdot 21 cdot 41 cdot 20 } = frac{ 1 }{ 30 cdot 271502 } = approx 0.0000001228 = 0.00001228 %$ ;




Допустим, что вопрос (а) подразумевает не строго 4 выигрышных номера, а 4 и более. В самом деле, там ведь не написано – СТРОГО четыре. Т.е. можно проинтерпретировать это задание, как выбор 4 из 6, а так же и 5 из 6, а так же и 6 из 6. Хорошо, сама такая интерпретация вопроса не является ошибкой. Если интерпретировать вопрос пункта (а) таким образом, то тогда мы просто найдём полную вероятность $P_{IV} = P_4 + P_5 + P_6$ того, что участник угадает любое количество номеров, больше или равно четырём, т.е. гарантированно угадает 4 каких-то номера.

В такой интерпретации:

$P_{IV} = P_4 + P_5 + P_6 = frac{ 741 }{ 2 cdot 271502 } + frac{ 39 }{ 5 cdot 271502 } + frac{ 1 }{ 30 cdot 271502 } = frac{ 741 cdot 15 + 39 cdot 6 + 1 }{ 30 cdot 271502 } = frac{ 11350 }{ 30 cdot 271502 } =$

$= frac{ 1135 }{ 3 cdot 271502 } approx 0.001393 = 0.1393 %$ .




!!!! Некоторые очень неопытные учащиеся делают катастрофическую ошибку, о которой стоит сказать отдельно !!!!

ОШИБКОЙ БЫЛО БЫ СЧИТАТЬ, ЧТО ПРИ РАСЧЁТЕ ПУНКТА **[2]** можно взять произвольно ещё два номера из общего пула, т.е. считать, что $N'_2 = frac{ 41 cdot 40 }{ 2 } = 41 cdot 20$ и, как бы, учесть при этом любой исход, как для 4, так и для 5-ти, так и для 6 выигрышных номеров.

В этом случае, получится неправильное значение для $P'_{IV} = frac{ N_4 cdot N'_2 }{ N } = frac{ 5 cdot 3 cdot 41 cdot 20 }{ 11 cdot 43 cdot 21 cdot 41 cdot 20 } = frac{ 5 }{ 11 cdot 43 cdot 7 } = frac{ 5 }{ 3311 } approx 0.001510 = 0.1510 %$ .

Как видим, оно завышено, поскольку варианты выборок более чем 4 номеров посчитаны несколько раз, когда они брались из общего пула.

!!!! ОКОНЧАНИЕ РАЗБОРА НЕВЕРНОГО ПОДХОДА !!!!


О т в е т . в . п р и к р е п л ё н н о м . и з о б р а ж е н и и >>>