Question

Докажите, что если числа $frac{1}{a+b}, frac{1}{a+c}, frac{1}{c+b}$ в заданном порядке образуют конечную арифметическую прогрессию, то числа $a^{2}, b^{2}, c^{2}$ также образуют конечную арифметическую прогрессию.

Answer 1

запишем основное свойство арифметической прогрессии

1/(a+b)+1/(c+b)=2/(a+c)

 

(a+c+2b)/(ac+b^2+cb+ab)=2/(a+c)

a^2+c^2+2ac+2ab+2bc=2ac+2b^2+2bc+2ab

a^2+c^=2b^2

откуда следует что a^2 b^2 и c^2 образуют арифметическую прогрессию