Question

1.Периметр квадрата, вписанного в окружность, равен 48см. НАйдите сторону правильного пятиугольника,вписанного в ту же окружность.
2. Найдите площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром и радиусами 3 см и 7 см
3.Найдите плозадь фигуры, ограниченной дугой окружности и стягивающей её хордой, если длина хорды равна 4м, а градусная мера дуги равна 60 градусов

Answer 1

1. Общая формула для выражения радиуса описанной окружности R через сторону правильного n-угольника a:

$R=frac{a}{2sin{frac{180}{n}}}$

Тогда для квадрата:

$R=frac{a_4}{2sin{45}}$

а для правильного пятиугольника:

$R=frac{a_5}{2sin{36}}$

Т.к. радиус окружности не изменяется, то можем записать:

$frac{a_5}{2sin{36}}=frac{a_4}{2sin{45}}longrightarrow\a_5=frac{a_4*sin{36}}{sin{45}}=frac{48*sin{36}}{sin{45}}approx 39,9$

Ответ: сторона правильного пятиугольника, вписанного в ту же окружность примерно 39,9 см

2. Площадь кольца ограниченного двумя концентрическими окружностями равна разности площадей большей и меньшей окружности.

Если обозначить радиус большей окружности через R, а меньшей окружности через r, то площадь кольца равна:

$S=pi*R^2-pi*r^2=pi*(R^2-r^2)=pi*(7^2-3^2)=40pi$

Ответ: площадь кольца, ограниченного двумя окружностями равна 40π см²

3. Площадь фигуры, ограниченной дугой окружности и стягивающей её хордой равна разности площадей сектора OAB и треугольника OAB.

ΔOAB равнобедренный с углом при вершине 60°, следовательно углы при основании равны (180° - 60°) / 2 = 60°. Т.е. ΔOAB - равносторонний и радиус окружности R = OA = AB = 4 м.

Площадь равностороннего треугольника выражается через его сторону по формуле:

$S_1=frac{a^2sqrt{3}}{4}$

Площадь сектора круга через угол α стягивающей его дуги и радиус окружности R найдем по формуле:

$S_2=frac{pi*R^2*alpha}{360}$

Площадь заданной фигуры равна:

$S=S_2-S_1=frac{pi*R^2*alpha}{360}-frac{a^2sqrt{3}}{4}=frac{pi*4^2*60}{360}-frac{4^2sqrt{3}}{4}=frac{pi*8}{3}-4sqrt{3}approx 1,45$

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной дугой окружности и стягивающей её хордой примерно 1,45 м²