Question

Пожалуйста помогит!!!10 класс решение тригонометрических уравнений,с объяснением пожалуйста!!

Answer 1

1. Заменяем cosx другой переменной и находим корни по дискриминанту:
$3cos^2x-5cosx-8=0\cosx=u\3u^2-5u-8=0\D:25+96=121\u=frac{5pm 11}{6}\\u_1=frac{8}{3}\cosx neq frac{8}{3}, ; cosxin [-1;1];\\u_2=-1\cosx=-1\x=pi +2pi n, ; nin Z.$
cosx=8/3 не подходит, т.к. cosx (и sinx) ограниченная функция, его значения находятся в отрезке [-1; 1]. 
cosx= -1 это частный случай, по таблице частных случаев пишем x=π+2πn.

2. cos²x надо заменить тождественным преобразованием как 1-sin²x, т.к. позволяет основное тригонометрическое тождество: sin²a+cos²a=1 :
$8cos^2x-14sinx+1=0\8(1-sin^2x)-14sinx+1=0\8-8sin^2x-14sinx+1=0|*(-1)\8sin^2x+14sinx-9=0\sinx=u\8u^2+14u-9=0\D:196+288=484\u=frac{-14pm 22}{16}\\u_1=frac{1}{2}\sinx=frac{1}{2}\x=(-1)^nfrac{pi}{6}+pi n, ; nin Z;\\u_2=-frac{9}{4}\sinx neq -frac{9}{4}, ; sinxin [-1;1].$

3. Надо привести уравнение либо к уравнению tgx, либо ctgx разделив всё уравнение на cos²x, либо на sin²x, при условии, что делитель не равен нулю:
$5sin^2x+14sinxcosx+8cos^2x=0|:cos^2x, ; cosx, ; x neq frac{pi}{2}+pi n, ; nin Z;\5tg^2x+14tgx+8=0\tgx=u\5u^2+14u+8=0\D:196-160=36\u=frac{-14pm 6}{10}\\u_1=-frac{4}{5}\tgx=-frac{4}{5}\x=-arctgfrac{4}{5}+pi k, ; kin Z;\\u_2=-2\tgx=-2\x=-arctg2+pi k, ; kin Z.$

4. Приводим уравнение к уравнению tgx или ctgx используя основное тригонометрическое тождество: tgx*ctgx=1, а значит tgx=1/ctgx или ctgx=1/tgx:
$2tgx-9ctgx+3=0\2tgx-frac{9}{tgx}+3=0|*tgx\2tg^2x+3tgx-9=0\tgx=u\2u^2+3u-9=0\D:9+72=81\u=frac{-3pm 9}{4}\\u_1=frac{3}{2}\tgx=frac{3}{2}\x=arctgfrac{3}{2}+pi n, ; nin Z;\\u_2=-3\tgx=-3\x=-arctg3+pi n, ; nin Z.$

5. Раскрываем sin2x = 2sinxcosx и делим либо на sin²x, либо на cos²x, как в уравнениях выше:
$sin^2x-5cos^2x=2sin2x\sin^2x-5cos^2x=2(2sinxcosx)|:cos^2x, ; x neq frac{pi}{2}+pi n, ; nin Z;\tg^2x-4tgx-5=0\tgx=u\u^2-4u-5=0\D:16+20=36\u=frac{4pm 6}{2}\\u_1=5\tgx=5\x=arctg5+pi k,; kin Z;\\u_2=-1\tgx=-1\x=-frac{pi}{4}+pi k, ; kin Z.$

6. Приведём уравнение к уравнению cosx, т.к. левую часть равенства можно преобразовать с помощью формулы cos2x:
$cos2x=cos^2x-sin^2x=cos^2x-(1-cos^2x)=2cos^2x-1\cos2x=2cos^2x-1\cos2x+1=cos^2x\\5cos2x+5=5(cos2x+1)=5cos^2x;$

$5cos^2x=8sin2x-6sin^2x\5cos^2x=8*(2sinxcosx)-6sin^2x\5cos^2x-16sinxcosx+6sin^2x=0|:sin^2x, ; x neq pi n, ; nin Z;\5ctg^2x-16ctgx+6=0\ctgx=u\5u^2-16u+6=0\D:256-120=136\u=frac{16pm 4sqrt{34}}{10}=frac{8pm2sqrt{34}}{5}\\u_1_2=frac{8 pm 2sqrt{34}}{5}\ctgx=frac{8pm 2sqrt{34}}{5}\x_1_2=arcctgfrac{8pm 2sqrt{34}}{5}+pi k, ; kin Z.$