Question

Помогите вычислить пределы функции. Решить пожалуйста по подробнее, что бы я сама поняла как это решать. За ранние спасибо

Answer 1

$lim_{x to 1} frac{4x^2+x-5}{x^2-2x+1}$
 
Это предел вида 0/0, поэтому, что бы решить данный предел, мы разложим его на множители. При этом, общий множитель, обязан быть (в нашем случае) $(x-1)$, как я это нашел? Все просто, видите к чему стремится икс? Правильно, к единице. Так что бы найти общий множитель предела такого вида, нужно, от икса отнять число, к которому он стремится.
Получаем:

$lim_{x to 1} frac{4x^2+x-5}{x^2-2x+1}= lim_{x to 1} frac{(x-1)(4x+5)}{(x-1)^2}= lim_{x to 1} (4x+5)= 9$

У вас при самостоятельном решении, появится поначалу трудность для раскладки выражения на множители. Но это просто, нужно поделить данное уравнение, на общий множитель столбиком. Про это я рассказывать не буду. Но дам совет, наберите в интернете "Деление многочленов столбиком", очень вам поможет ( в школе это не изучают по какой то причине).

2)
Данный предел имеет вид n/0, где n любое число.
Данный предел в любом случае, будет равен либо:
$+infty$
Либо :
$-infty$
Либо:
С одной стороны $+infty$, с другой стороны $-infty$



Значит запишем предел:
$lim_{x to -1} frac{x^2+3x-1}{x^3+1}$

Теперь, нам нужно найти значения икса, при котором числитель будет нулем, потом найти значение икса при котором, знаменатель равен 0:

Получаем 2 уравнения:
$x^2+3x-1=0$
$x^3+1=0$
Решим их:
1)$x^2+3x-1=0$
$sqrt{D}= sqrt{b^2-4ac}= sqrt{9+4}= sqrt{13}$
$x_{1,2}= frac{-3pmsqrt{13}}{2}$

2)
$x^3+1=0$
$x^3=-1$
$x_3=-1$

Теперь, отметим на числовой прямой данные точки:
 
   
------($frac{-3-sqrt{13}}{2}$)-----(-1)------($frac{-3+sqrt{13}}{2}$)----->

Получили мы, 4 интервала:
$(-infty,frac{-3-sqrt{13}}{2})(frac{-3-sqrt{13}}{2},-1)(-1,frac{-3+sqrt{13}}{2})(frac{-3+sqrt{13}}{2}),+infty)$
Так как предел стремится к (-1), то нам нужны только интервалы с (-1).
Теперь, проверим их знаки:
 $(frac{-3-sqrt{13}}{2},-1)=+$ - просто подбираете число из интервала , я лично взял -2, и вставляете в нашу дробь, и получаете знак.
$(-1,frac{-3+sqrt{13}}{2})=-$

Отсюда следует следующий вывод, когда икс стремится к (-1) с права:

$lim_{x to -1+0} frac{x^2+3x-1}{x^3+1} = -infty$ - предел стремится к минус бесконечность.
А когда икс стремится к (-1) слева:
$lim_{x to -1-0} frac{x^2+3x-1}{x^3+1}= +infty$-
предел стремится к плюс бесконечность.
Это и есть ответ.

3)
Опять предел вида 0/0 (можете проверить).
Но здесь не получиться разложить на множители как в 1 примере.
Здесь нужно избавиться от корня в числителе:

 $lim_{x to 3} frac{ sqrt{5x+1}-4}{x^2+2x-15}$
Для её раскрытия умножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное с числителем, то есть на $sqrt{5x+1}+4$:

$lim_{x to 3} frac{ (sqrt{5x+1}-4)(sqrt{5x+1}+4)}{(x^2+2x-15)(sqrt{5x+1}+4)}$

Мы получили в числителе, разность, квадратов:
$lim_{x to 3} frac{ (sqrt{5x+1}-4)(sqrt{5x+1}+4)}{(x^2+2x-15)(sqrt{5x+1}+4)}=lim_{x to 3} frac{(sqrt{5x+1})^2-16}{(x^2+2x-15)(sqrt{5x+1}+4)}$

То есть:
$lim_{x to 3} frac{5x-15}{(x^2+2x-15)(sqrt{5x+1}+4)}$

Но снова не задача. Опять получаем 0/0. Смотрим еще, мы можем упростить уравнение в числителе, и уравнение без корня, в знаменателе:

Берем за общий множитель, (x-3) - как в 1 примере.

Получаем:
$lim_{x to 3} frac{5(x-3)}{(x-3)(x+5)(sqrt{5x+1}+4)}=lim_{x to 3} frac{5}{(x+5)(sqrt{5x+1}+4)}$
 
Осталось подставить тройку, и получим:

$lim_{x to 3} frac{ sqrt{5x+1}-4}{x^2+2x-15} = frac{5}{64}$