Question

Помогите решить нужно комплексные числа посчитать 1. Добавить 2 Отнять 3. умножить 4. Разделить Z1=1-i; Z2=5-4i

Answer 1

Основные правила действия над комплексными числами вида   $a + bi$    непосредственно следуют из определения мнимой единицы    $i = sqrt{ -1 } ,$    которое задаёт, что    $i^2 = ( sqrt{ -1 } )^2 = - 1 .$

Итак:

$z_1 = 1 - i ;$

$z_2 = 5 - 4i ;$


Тогда:


1)    $z_1 + z_2 = ( 1 - i ) + ( 5 - 4i ) = 1 - i + 5 - 4i = 6 - 5i ;$

$z_1 + z_2 = 6 - 5i ;$


2)    $z_1 - z_2 = ( 1 - i ) - ( 5 - 4i ) = 1 - i - 5 + 4i = -4 + 3i ;$

$z_1 - z_2 = -4 + 3i ;$

2* )    $z_2 - z_1 = 4 - 3i ;$



3)

$z_1 cdot z_2 = ( 1 - i ) cdot ( 5 - 4i ) = 5 - 4i - 5i + 4i^2 = 5 - 9i + 4 cdot (-1) = 5 - 9i - 4 ;$

$z_1 cdot z_2 = 1 - 9i ;$



4)          $z_1 : z_2 = frac{ 1 - i }{ 5 - 4i } = frac{ ( 1 - i ) ( 5 + 4i ) }{ ( 5 - 4i ) ( 5 + 4i ) } = frac{ 5 + 4i - 5i - 4i^2 }{ 5^2 - (4i)^2 } =$

$= frac{ 5 - i - 4 cdot (-1) }{ 25 - 4^2 i^2 } = frac{ 5 - i + 4 }{ 25 - 16 cdot (-1) } = frac{ 9 - i }{ 25 + 16 } = frac{ 9 - i }{41} = frac{9}{41} - frac{i}{41} ;$

$z_1 : z_2 = frac{9}{41} - frac{i}{41} ;$


4* )          $z_2 : z_1 = frac{ 5 - 4i }{ 1 - i } = frac{ ( 5 - 4i ) ( 1 + i ) }{ ( 1 - i ) ( 1 + i ) } = frac{ 5 + 5i - 4i - 4i^2 }{ 1^2 - i^2 } =$

$= frac{ 5 + i - 4 cdot (-1) }{ 1 - i^2 } = frac{ 5 + i + 4 }{ 1 - (-1) } = frac{ 9 + i }{ 1 + 1 } = frac{ 9 - 3i }{2} = 4.5 + 0.5i ;$

$z_2 : z_1 = 4.5 + 0.5i ;$



$( z_1 : z_2 ) cdot ( z_2 : z_1 ) = frac{z_1}{z_2} cdot frac{z_2}{z_1} = ( frac{9}{41} - frac{i}{41} ) ( 4.5 + 0.5i ) =$

$= frac{81}{82} + frac{9}{82} i - frac{9}{82} i - frac{i^2}{82} = frac{81}{82} - frac{-1}{82} = frac{81}{82} + frac{1}{82} = frac{82}{82} = 1 ;$