Question

Найдите значение выражения sin 54- sin 18

Answer 1

$sin54^o-sin18^o=2cos frac{54^o+18^o}{2}*sin frac{54^o-18^o}{2}=2cos36^osin18^o$

Отдельно вычислим $sin18^o$:
Так как: $sin36^o=sin(90^o-54^o)=cos54^o$
$sin(2*18^o)=cos(3*18^o) \ 2sin18^ocos18^o=4cos^318^o-3cos18^o \ 2sin18^ocos18^o=4cos18^o(4cos^218^o-3)$
Разделим на $cos18^o$
$2sin18^o=4-4sin^218^o-3$
$4sin^218^o+2sin18^o-1=0$, учтем $sin18^0 textgreater 0$
$D=4-4*4*(-1)=20 \ sin18^o= frac{-2+2 sqrt{5} }{8} = frac{ sqrt{5}-1 }{4}$
$sin18^o= frac{-2-2 sqrt{5} }{8}$  - ∅

Отдельно вычислим $cos36^o$:
$cos36^o=2cos^218^o-1$
$cos54^o=cos(90^o-36^o)=sin36^o=2sin18^ocos18^o= \ =2cos18^o sqrt{1-cos^218^o} \ cos(3*18^o)=4cos^318^o-3cos18^o \ 2cos18^o sqrt{1-cos^218^o} =cos18^0(4cos^218^o-3) \ 2sqrt{1-cos^218^o} =4cos^218^o-3 \ (2sqrt{1-cos^218^o})^2 =(4cos^218^o-3 )^2 \ 4(1-cos^218^o) =16cos^418^o-24cos^218^o +9 \16cos^418^o-24cos^218^o +4cos^218^o +9-4=0 \16cos^418^o-20cos^218^o +5=0 \ cos^218^o=t \ 16t^2-20t+5=0 \ D=400-4*16*5=80 \ t_1= frac{20+4 sqrt{5} }{32}= frac{5+ sqrt{5} }{8}$
$t_2= frac{20-4 sqrt{5} }{32}= frac{5- sqrt{5} }{8}$  ∅ т.к. $cos^218^o textgreater frac{5- sqrt{5} }{8}$
$cos36^o=2cos^218^o-1=2*frac{ sqrt{5}+5 }{8}-1=frac{sqrt{5} +5}{4}-1=frac{ sqrt{5}+5 -4}{4}=frac{ sqrt{5}+1}{4} \ 2cos36^osin18^o=2*frac{ sqrt{5}+1}{4}*frac{ sqrt{5}-1}{4}=2*frac{ (sqrt{5})^2-1}{16}=2* frac{4}{16}=2* frac{1}{4}= frac{1}{2}$