Question

У прямокутному трикутнику катет довжиною 12 см прилеглий до кута, що дорівнює 30°. Знайдіть дов­жину бісектриси іншого гострого кута цього трикут­ника

Answer 1

1. Обозначи тругольник: АВС: угол С-прямой, катет АС=12, ВН-биссектриса, угол А=30°

2. Так как сумма острых углогв в прямоугольном треугольнике равна 90°, то на угол В приходится 90-30=60°

3. Так как ВН-биссектриса, то на углы АВН и НВС приходится по 30°

4. Найдем гипотенузу АВ через cosA:

$cosA=frac{AC}{AB}, cos30=frac {sqrt3}{2}$

 

$frac{sqrt3}{2} = frac{12}{AB}, AB=frac{12*2}{sqrt{3}}=frac{24}{sqrt3}=8sqrt3$

 

5. По теореме Пифагора находим катет BC:

 

$(8sqrt{3})^2 = 12^2+BC^2$

 

64*3=144+x²

192-144=x²

x²=48

 

$x=4sqrt3$

 

6. Находим биссектрису ВН через cosHBC, cos30°

 

$cosHBC=frac{BC}{AB}$

 

$frac{sqrt{3}}{2}=frac{4 sqrt{3}}{BH}, BH = frac{2*4 sqrt{3}}{sqrt{3}}, BH = 8$

 

Ответ: длина биссектрисы 8см