Question

25 баллов. 9 класс.
1. Найдите длину дуги окружности, градусная мера которой равна 20°, если площадь круга, ограниченного этой окружностью, равна 36 $pi$ см².
2. Площадь квадрата, описанного около некоторой окружности, равна 48 см². Найдите радиус этой окружности и площадь вписанного в нее правильного треугольника.

Answer 1

1. $l_{n} = frac{pi R}{180} *n$, где n - градусная мера соответственного центрального угла.
Найдем радиус окружности:
$S= pi R^{2} =36 pi ; \ R= sqrt{ frac{S}{ pi } } = sqrt{ frac{36 pi }{ pi } }=6$, где S - площадь круга.
Найдем длину дуги:
$l_{20}= frac{6 pi }{180} *20= frac{2}{3} pi$
Ответ: $frac{2}{3} pi$ см.
2. Найдем сторону квадрата a:
$S= a^{2} = 48; \ a= sqrt{48} =4 sqrt{3}.$
Радиус вписанной в квадрат окружности равен:
$R= frac{a}{2}$, где a - сторона квадрата.
$R= frac{4 sqrt{3} }{2} =2 sqrt{3}$
Площадь вписанного треугольника равна:
$S= frac{ c^{2} sqrt{3} }{4}$, где c - сторона правильного треугольника.
Необходимо найти сторону правильного треугольника. Так как нам известен радиус описанной около треугольника окружности, то воспользуемся формулой:
$R= frac{c}{ sqrt{3} } ; \ c=R* sqrt{3} =2 sqrt{3} * sqrt{3} =6.$
Найдем площадь правильного треугольника:
$S= frac{ c^{2} sqrt{3} }{4} = frac{36 sqrt{3} }{4} =9 sqrt{3}$.
Ответ: $9 sqrt{3}$ см.