Question

Докажите неравенство ( a+b )(1/a  +1/b ) ≥ 4, если ab> 0

Answer 1

Скорее всего в условии опечатка, условие a > 0, b > 0.

Для a > 0, b > 0 используем неравенство Коши

$a+bgeq 2sqrt{ab}\ \ dfrac{1}{a}+dfrac{1}{b}geq 2sqrt{dfrac{1}{ab}}$

Умножив эти два неравенства , мы получим

$(a+b)left(dfrac{1}{a}+dfrac{1}{b}right)geq 2sqrt{ab}cdot 2cdot sqrt{dfrac{1}{ab}}=4$

Если же в условии ab > 0, то доказательство такое

$(a+b)left(dfrac{1}{a}+dfrac{1}{b}right)=(a+b)cdot dfrac{a+b}{ab}geq 4\ \a^2+b^2+2abgeq 4ab\ \ a^2+b^2geq 2ab\ \ (a-b)^2geq 0$