Question

помогите решить номер 20 г,д, пожалуйста, буду очень благодарна (ребята,которые еще не закончили школу, можете не смотреть, это высшая математика) задание:надо решить с помощью интегрирования

Answer 1

$int frac{dx}{sin^2x+1} =int frac{frac{dx}{sin^2x}}{1+frac{1}{sin^2x}} =int frac{-d(ctgx)}{1+(1+ctg^2x)} =-int frac{d(ctgx)}{ctg^2x+2}=[t=ctgx]=\\=-int frac{dt}{t^2+2}=-frac{1}{sqrt2}arctgfrac{t}{sqrt2}+C=-frac{1}{sqrt2}arctg(frac{ctgt}{sqrt2})+C\\\int ctg^5(-x)dx=-int ctg^5x, dx=\\=[t=ctgx,x=arcctgt,; dx=-frac{dt}{1+t^2}]=\\=int frac{t^5}{t^2+1}=int (t^3-t+frac{t}{t^2+1})dt=frac{t^4}{4}-frac{t^2}{2}+frac{1}{2}int frac{2t, dt}{t^2+1}=$

$= frac{t^4}{4} - frac{t^2}{2} + frac{1}{2}ln|t^2+1|+C=\\=frac{ctg^4x}{4} -frac{ctg^2x}{2}+frac{1}{2}cdot ln(ctg^2x+1)+C$