Question

доказать что (5^5x+1)+(4^5x+2)+(3^5x) делится на 11,при любом целом,положительном x
(^ значит в степени)

Answer 1

Попробуем доказать по индукции.
5^(5x+1) + 4^(5x+2) + 3^(5x) = 5*5^(5x) + 16*4^(5x) + 3^(5x)
При x = 0 будет 5*5^0 + 16*5^0 + 3^0 = 5 + 16 + 1 = 22 = 2*11 - делится на 11.
Пусть при каком-то x это верно, докажем, что это верно и при x+1
5^(5x+5+1) + 4^(5x+5+2) + 3^(5x+5) = 5^(5x+6) + 4^(5x+7) + 3^(5x+5) =
= 5^6*5^(5x) + 4^7*4^(5x) + 3^5*3^(5x) = 15625*5^(5x) + 16384*4^(5x) + 243*3^(5x)
Вычтем из него нашу сумму 5*5^(5x) + 16*4^(5x) + 3^(5x), которая делится на 11,
и проверим, делится ли на 11 разность.
15625*5^(5x) + 16384*4^(5x) + 243*3^(5x) - 5*5^(5x) - 16*4^(5x) - 3^(5x) =
= 15620*5^(5x) + 16368*4^(5x) + 242*3^(5x) =
= 11*1420*5^(5x) + 11*1488*4^(5x) + 11*22*3^(5x)
Все три коэффициента делятся на 11, значит, и разность делится на 11, и
следующий член последовательности 5^(5x+6) + 4^(5x+7) + 3^(5x+5) делится на 11.