Question

помогите пожалуйста,завтра экзамен,срочно нужно!!! Найти частное решение дифференциального уравнения , при заданных начальных условиях. y"-2y'-3y=e^4x; у(0)=0 , y'(0)=0

Answer 1

1) y''-2y'-3y=0 ⇒ β²-2β-3=0 ⇒β=-1,β=3
ФСР: $Phi .C.P.: e^{-x}; e^{3x}$
$y(x)=c_1e^{-x}+c_2e^{3x}$
$y'(x)=c'_1e^{-x}-c_1e^{-x}+c'_2e^{3x}+3c_2e^{3x}.$
Полагаем, что $c'_1e^{-x}+c'_2e^{3x}=0$, тогда
$y'(x)=-c_1e^{-x}+3c_2e^{3x}\ y''(x)=-c'_1e^{-x}+c_1e^{-x}+3c'_2e^{3x}+9c_2e^{3x}.$
Подставим выражения для y, y' и y'' в исходное уравнение:
$(-c'_1e^{-x}+c_1e^{-x}+3c'_2e^{3x}+9c_2e^{3x})-2(-c_1e^{-x}+3c_2e^{3x})-\ -3(c_1e^{-x}+c_2e^{3x})=e^{4x}$
Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые, получим:
$-c'_1e^{-x}+3c'_2e^{3x}=e^{4x}$
Решаем систему уравнений:
$begin{cases} c'_1e^{-x}+c'_2e^{3x}=0 \ -c'_1e^{-x}+3c'_2e^{3x}=e^{4x} end{cases} textless = textgreater begin{cases}4c'_2e^{3x}=e^{4x} \ c'_1=-c'_2e^{4x} end{cases} textless = textgreater \ begin{cases}c'_2= frac{1}{4} e^x \ c'_1=-frac{1}{4}e^{5x} end{cases} = textgreater begin{cases}c_2= frac{1}{4} e^x + acute {C_2} \ c_1=-frac{1}{20}e^{5x}+ acute {C_1} end{cases}$
Полученные для с1 и с2 выражения подставляем в формулу решения:
$y(x)=c_1e^{-x}+c_2e^{3x}=(-frac{1}{20}e^{5x}+ acute {C_1})e^{-x}+(frac{1}{4} e^x + acute {C_2})e^{3x}=\ = acute {C_1}e^{-x}+ acute {C_2}e^{3x}+frac{1}{5}e^{4x}.$
Итак, найдено общее решение исходного уравнения:
$y=acute {C_1}e^{-x}+ acute {C_2}e^{3x}+frac{1}{5}e^{4x}.$
Из условий у(0)=0 и у'(0)=0 найдем С1 и С2:
$y(0)=0 = textgreater acute {C_1} + acute {C_2}+frac{1}{5}=0.\ y'=(acute {C_1}e^{-x}+ acute {C_2}e^{3x}+frac{1}{5}e^{4x})'=-acute {C_1}e^{-x}+ 3acute {C_2}e^{3x}+frac{4}{5}e^{4x}.\ y'(0)=0 = textgreater -acute {C_1}}+ 3acute {C_2}+frac{4}{5}=0.$
Решаем последнюю систему:
$begin{cases} acute {C_1} + acute {C_2}=-frac{1}{5} \ acute {C_1}}- 3acute {C_2}=frac{4}{5} end{cases} textless = textgreater begin{cases} 4 acute {C_2}=-1 \ acute {C_1}}=-acute {C_2}-frac{1}{5} end{cases} textless = textgreater begin{cases} acute {C_2}=-frac{1}{4} \ acute {C_1}}=frac{1}{20} end{cases}$
Найденные числа подставим в полученное общее решение:
$y=frac{1}{20} e^{-x}-frac{1}{4}e^{3x}+frac{1}{5} e^{4x}$ - это ответ!