Question

В трапеции ABCD с основаниями BC и AD диагонали AC и BD пересекаются в точке O.Докажите равенство площадей AOB и COD.

Answer 1

Трапеция АВСД.  ВС║АД , ВС - меньшее основание 
АС∩ВД=О
Рассмотрим ΔАВС. Его площадь S=1/2*ВС*h , где h =АМ-   высота ΔАВС, проведённая из вершины А на BC. Высота АМ совпадает с высотой трапеции.
S(ΔABC)=S(ΔABO)+S(ΔBOC)
Рассмотрим ΔВСД. Его площадь S=1/2*BC*h, где h =ДN -  высота ΔВСД, проведённая из вершины Д на ВС . Причём, высота ДN совпадает с высотой трапеции, значит  AM=ДN и S(ΔABC)=S(ΔBCД).
S(ΔBCД)=S(ΔCOД)+S(ΔBOC)
S(ΔABС)=S(ΔВCД)  ⇒  S(ΔABO)+S(ΔBOC)=S(ΔCOД)+S(ΔBOC)  ⇒
S(ΔABO)=S(ΔСОД)