Question

cos3x+4cos^2x=0
В ответ записать сумму решений принадлежащих отрезку (0;pi)

Answer 1

cos(3x)+4cos(x)^2=0
cos(3x)=4cos(x)^3-3cos(x), поэтому
4cos(x)^3-3cos(x)+4cos(x)^2=0
cos(x)*(4cos(x)^2+4cos(x)-3)=0
Отсюда получим совокупность уравнений:
cos(x)=0,
4cos(x)^2+4cos(x)-3=0.
Решим каждое их уравнений:
1) cos(x)=0
x=π/2+πn, n∈Z
2) 4cos(x)^2+4cos(x)-3=0
Пусть cos(x)=t, |t|<=1
Тогда получим квадратное уравнение относительно t:
4t^2+4t-3=0
D=4^2-4*4*(-3)=64
t1,2=(-4+-√64)/(2*4)=(-4+-8)/8=(-1+-2)/2
t1=(-1-2)/2=-1.5 - не удовлетворяет наложенным на t условиям
t2=(-1+2)/2=1/2=0.5
Отсюда cos(x)=0.5
x=+-π/3+2πk, k∈Z
Ответ: π/2+πn, n∈Z, +-π/3+2πk, k∈Z.