Question

Точка C(x, y) лежит на прямой 5x+y=104 и равноудалена от точек A (-9, 6) и B (-6, -9). Найти скалярное произведение векторов CA · CB.

Answer 1

Уравнение прямой АВ:
$AB: frac{x+9}{-6+9} = frac{y-6}{-9-6} .$
$AB: frac{x+9}{3}= frac{y-6}{-15} .$
Знаменатели дробей сократим на 3:
у - 6 = -5х - 45,
у = -5х - 39.

Точка, равноудалённая от точек А и В, лежит на перпендикуляре к середине отрезка АВ (пусть это  точка Д).
Д = $frac{-6-9}{2}=-7,5 ; frac{-9+6}{2}=-1,5.$
Д=(-7,5;-1,5).

Уравнение перпендикуляра к середине отрезка АВ:
к(ДС) = -1/к(АВ) = -1/-5 = 1/5.
Уравнение прямой ДС: у = (1/5)х + в.

Подставим координаты точки Д  в это уравнение:
-1,5 = (1/5)*(-7,5) + в.
Отсюда в = -1,5+1,5 = 0.
Окончательно получаем уравнение прямой ДС: у = (1/5)х.

Точку С находим из пересечения прямой ДС и заданной:
5х + ((1/5)х) = 104,
(26/5)*х = 104,
х = (104*5)/26 = 20,
у =104 - 5х = 104 - 100 = 4.

Точка С = (20;4).

Вектор СА = (29;-2),
вектор СВ = (26;13),

Ответ: скалярное произведение СА*СВ = 29*26+(-2)*13 = 728.