Ответы
Ответ дал:
0
Неравенство страшно только на вид.
Спасает то, что у обоих логарифмов основание одинаковое.
1) Найдем сначала область определения.
Основание логарифма должно быть положительно и не = 1.
Число под логарифмом должно быть положительно.
Знаменатель дроби не должен равняться 0
{![2^{(x+1)^2}-1 textgreater 0 2^{(x+1)^2}-1 textgreater 0](https://tex.z-dn.net/?f=2%5E%7B%28x%2B1%29%5E2%7D-1+textgreater++0)
{![2^{(x+1)^2}-1 neq 1 2^{(x+1)^2}-1 neq 1](https://tex.z-dn.net/?f=2%5E%7B%28x%2B1%29%5E2%7D-1++neq+1)
{ 2x^2 + 2x + 3 > 0
{ 2x^2 + 2x + 3 =/= 1
{ x^2 - 2x > 0
{ x^2 + 6x + 10 > 0
{![log_{(2^{(x+1)^2}-1)} (x^2 + 6x + 10) neq 0 log_{(2^{(x+1)^2}-1)} (x^2 + 6x + 10) neq 0](https://tex.z-dn.net/?f=log_%7B%282%5E%7B%28x%2B1%29%5E2%7D-1%29%7D+%28x%5E2+%2B+6x+%2B+10%29+++neq+0)
{![log_{(2x^2+2x+3)} (x^2 - 2x) textgreater 0 log_{(2x^2+2x+3)} (x^2 - 2x) textgreater 0](https://tex.z-dn.net/?f=log_%7B%282x%5E2%2B2x%2B3%29%7D+%28x%5E2+-+2x%29+textgreater++0)
Выделим отдельно три неравенства
{ 2x^2 + 2x + 3 > 0
{ 2x^2 + 2x + 3 =/= 1
{ x^2 + 6x + 10 > 0
Они все три выполняются при любом х, поэтому их можно убрать.
{![2^{(x+1)^2} textgreater 1 2^{(x+1)^2} textgreater 1](https://tex.z-dn.net/?f=2%5E%7B%28x%2B1%29%5E2%7D+textgreater++1)
{![2^{(x+1)^2} neq 2 2^{(x+1)^2} neq 2](https://tex.z-dn.net/?f=2%5E%7B%28x%2B1%29%5E2%7D++neq+2)
{ x^2 - 2x > 0
{ x^2 + 6x + 10 =/= 1
{![log_{(2x^2+2x+3)} (x^2 - 2x) textgreater 0 log_{(2x^2+2x+3)} (x^2 - 2x) textgreater 0](https://tex.z-dn.net/?f=log_%7B%282x%5E2%2B2x%2B3%29%7D+%28x%5E2+-+2x%29+textgreater++0)
В 1-ом неравенстве показатель (x+1)^2 > 0 при любом x =/= -1,
поэтому
при любом x =/= -1.
Во 2-ом неравенстве (x+1)^2 =/= 1, то есть x+1 =/= -1 и x+1 =/= 1,
отсюда x =/= -2 и x =/= 0.
Решение 3-го неравенства x < 0 U x > 2
4-ое неравенство можно переписать так:
x^2 + 6x + 9 + 1 = (x + 3)^2 + 1 =/= 1
Его решение: x =/= -3
В итоге получаем решение первых 4 неравенств:
x ∈ (-oo; -3) U (-3; -2) U (-2; -1) U (-1; 0) U (2; +oo)
Теперь решаем 5-ое неравенство
![log_{(2x^2+2x+3)} (x^2 - 2x) textgreater 0 log_{(2x^2+2x+3)} (x^2 - 2x) textgreater 0](https://tex.z-dn.net/?f=log_%7B%282x%5E2%2B2x%2B3%29%7D+%28x%5E2+-+2x%29+textgreater++0)
Основание логарифма 2x^2+2x+3 > 1 при любом х, поэтому
x^2 - 2x > 1
x^2 - 2x - 1 > 0
D = 4 - 4(-1) = 8
x1 = (2 - √8)/2 = 1 - √2 ≈ -0,414
x2 = (2 + √8)/2 = 1 + √2 ≈ 2,414
x ∈ (-oo; 1-√2) U (1+√2; +oo)
С учетом первых трех неравенств получаем Область Определения:
x ∈ (-oo; -2) U (-2; -1) U (-1; 1-√2) U (1+√2; +oo)
2) Теперь решаем само неравенство.
Обозначим условно основание![2^{(x+1)^2-1}=c 2^{(x+1)^2-1}=c](https://tex.z-dn.net/?f=2%5E%7B%28x%2B1%29%5E2-1%7D%3Dc)
![frac{log_c(log_{(2x^2+2x+3)}(x^2-2x))}{log_c(x^2 + 6x + 10)} geq 0 frac{log_c(log_{(2x^2+2x+3)}(x^2-2x))}{log_c(x^2 + 6x + 10)} geq 0](https://tex.z-dn.net/?f=+frac%7Blog_c%28log_%7B%282x%5E2%2B2x%2B3%29%7D%28x%5E2-2x%29%29%7D%7Blog_c%28x%5E2+%2B+6x+%2B+10%29%7D++geq+0)
У логарифмов есть интересное свойство:
![frac{log_c(a)}{log_c(b)} =log_b(a) frac{log_c(a)}{log_c(b)} =log_b(a)](https://tex.z-dn.net/?f=+frac%7Blog_c%28a%29%7D%7Blog_c%28b%29%7D+%3Dlog_b%28a%29)
Поэтому наше неравенство можно переписать так:
![log_{(x^2 + 6x + 10)}(log_{(2x^2+2x+3)}(x^2-2x))} geq 0 log_{(x^2 + 6x + 10)}(log_{(2x^2+2x+3)}(x^2-2x))} geq 0](https://tex.z-dn.net/?f=log_%7B%28x%5E2+%2B+6x+%2B+10%29%7D%28log_%7B%282x%5E2%2B2x%2B3%29%7D%28x%5E2-2x%29%29%7D+geq+0)
То есть логарифм от логарифма. Основание внешнего логарифма
x^2 + 6x + 10 = (x+3)^2 + 1 >= 1 при любом x, поэтому
график внешнего логарифма - возрастающий, то есть
![log_{(2x^2+2x+3)}(x^2-2x) geq 1 log_{(2x^2+2x+3)}(x^2-2x) geq 1](https://tex.z-dn.net/?f=log_%7B%282x%5E2%2B2x%2B3%29%7D%28x%5E2-2x%29+geq+1)
Но это основание тоже
2x^2 + 2x + 3 > 1 при любом х, поэтому график тоже возрастающий.
x^2 - 2x >= 2x^2 + 2x + 3
Отсюда
x^2 + 4x + 3 <= 0
(x + 3)(x + 1) <= 0
x ∈ [-3; -1]
С учетом Области Определения
x ∈ (-3; -2) U (-2; -1)
Спасает то, что у обоих логарифмов основание одинаковое.
1) Найдем сначала область определения.
Основание логарифма должно быть положительно и не = 1.
Число под логарифмом должно быть положительно.
Знаменатель дроби не должен равняться 0
{
{
{ 2x^2 + 2x + 3 > 0
{ 2x^2 + 2x + 3 =/= 1
{ x^2 - 2x > 0
{ x^2 + 6x + 10 > 0
{
{
Выделим отдельно три неравенства
{ 2x^2 + 2x + 3 > 0
{ 2x^2 + 2x + 3 =/= 1
{ x^2 + 6x + 10 > 0
Они все три выполняются при любом х, поэтому их можно убрать.
{
{
{ x^2 - 2x > 0
{ x^2 + 6x + 10 =/= 1
{
В 1-ом неравенстве показатель (x+1)^2 > 0 при любом x =/= -1,
поэтому
Во 2-ом неравенстве (x+1)^2 =/= 1, то есть x+1 =/= -1 и x+1 =/= 1,
отсюда x =/= -2 и x =/= 0.
Решение 3-го неравенства x < 0 U x > 2
4-ое неравенство можно переписать так:
x^2 + 6x + 9 + 1 = (x + 3)^2 + 1 =/= 1
Его решение: x =/= -3
В итоге получаем решение первых 4 неравенств:
x ∈ (-oo; -3) U (-3; -2) U (-2; -1) U (-1; 0) U (2; +oo)
Теперь решаем 5-ое неравенство
Основание логарифма 2x^2+2x+3 > 1 при любом х, поэтому
x^2 - 2x > 1
x^2 - 2x - 1 > 0
D = 4 - 4(-1) = 8
x1 = (2 - √8)/2 = 1 - √2 ≈ -0,414
x2 = (2 + √8)/2 = 1 + √2 ≈ 2,414
x ∈ (-oo; 1-√2) U (1+√2; +oo)
С учетом первых трех неравенств получаем Область Определения:
x ∈ (-oo; -2) U (-2; -1) U (-1; 1-√2) U (1+√2; +oo)
2) Теперь решаем само неравенство.
Обозначим условно основание
У логарифмов есть интересное свойство:
Поэтому наше неравенство можно переписать так:
То есть логарифм от логарифма. Основание внешнего логарифма
x^2 + 6x + 10 = (x+3)^2 + 1 >= 1 при любом x, поэтому
график внешнего логарифма - возрастающий, то есть
Но это основание тоже
2x^2 + 2x + 3 > 1 при любом х, поэтому график тоже возрастающий.
x^2 - 2x >= 2x^2 + 2x + 3
Отсюда
x^2 + 4x + 3 <= 0
(x + 3)(x + 1) <= 0
x ∈ [-3; -1]
С учетом Области Определения
x ∈ (-3; -2) U (-2; -1)
Ответ дал:
0
А если х принадлежит (-2;4), то 5-х>1, функция возрастающая, получается
Ответ дал:
0
(x+2)/(5-x)^4 >= (5-x)^(-4)
Ответ дал:
0
Вот эти два неравенства и гадо решить
Вас заинтересует
1 год назад
6 лет назад
6 лет назад
8 лет назад
8 лет назад