Question

У меня вообще не получается, помогите пожалуйста

Answer 1

В треугольнике АВС  медиана, биссектриса и высота, проведенные из вершины В, делят угол при этой вершине на четыре равных угла.  Найдите наименьший  угол треугольника 

Сделаем рисунок и проведем  медиану ВМ, биссектрису ВТ и высоту ВН

Пусть каждый из четырех углов при В будет а. 

Тогда угол АВС будет 4а. 

ВН - высота. Угол ВНА - прямой. 

Из  ⊿ ВНС угол ВСН=90º-а, из ⊿ ВНА угол ВАН=90º-3а

Опишем вокруг прямоугольного треугольника АВН окружность и продолжим  ВТ до пересечения с ней в точке Е.

Через О из Е проведем диаметр ЕР

∠ ВЕА= ∠ВРА=90º - опираются на диаметр.

∠ РВЕ= ∠РАЕ=90º- опираются на диаметр. ⇒

Четырехугольник ВРАЕ - квадрат. АВ в нем - диагональ и  биссектриса  и делит  углы  РВЕ и РАЕ пополам. 

  ∠ВАЕ=∠АВЕ=2а

Угол НАЕ=НВЕ=а - опираются на одну дугу. 

Отсюда ∠ВАН=∠ВАЕ-НАЕ=2а-а=а

Т.к. диагональ квадрата является биссектрисой прямого угла, угол АВЕ=45º. 

2а=45º,  ⇒ а=22,5º

Угол АВС=4а=90º

Угол ВСА=90º-а=67,5º

Угол ВАС=ВАН=а=22,5º - это наименьший угол данного треугольника АВС.