Question

Помогите по математическому анализу.

Answer 1

На первом этапе разложим общий член ряда в сумму дробей используя метод неопределённых коэффициентов:
$frac{A}{n}+ frac{B}{n+1}+ frac{C}{n+2}= frac{8}{n(n+1)(n+2)}$
$A(n+1)(n+2)+Bn(n+2)+Cn(n+1)=8$
$A(n^2+3n+2)+B(n^2+2n)+C(n^2+n)=8$
A+B+C=0          4+B+C=0          B+C=-4
3A+2B+C=0 ⇒  12+2B+C=0 ⇒  2B+C=-12 ⇒ B=-8 ⇒ C=4
2A=8                 A=4
На последних шагах проведено умножение одного из уравнений на -1 и сложение двух уравнений системы.
Получили
$a_n= frac{4}{n}- frac{8}{n+1}+ frac{4}{n+2}$
Запишем частичную сумму эн членов ряда
$S_n=4-4+ frac{4}{3}+2- frac{8}{3}+1+ frac{4}{3}-2+ frac{4}{5}+1- frac{8}{5}+ frac{2}{3}+ frac{4}{5}- frac{4}{3}+ frac{4}{7}+$
$+ frac{2}{3}- frac{8}{7}+ frac{1}{2}+...+ frac{4}{n-3}- frac{8}{n-2}+ frac{4}{n-1}+ frac{4}{n-2}- frac{8}{n-1}+ frac{4}{n} +$
$+frac{4}{n-1}- frac{8}{n}+ frac{4}{n+1}+ frac{4}{n}- frac{8}{n+1}+ frac{4}{n+2}$
В результате всех сокращений получаем
$S_n=2+ frac{4}{n+1}- frac{8}{n+1}+ frac{4}{n+2}=2- frac{4}{n+1}+ frac{4}{n+2}$
Далее находим предел
$S= lim_{n to infty} S_n = lim_{n to infty}(2- frac{4}{n+1}+ frac{4}{n+2})=2$

Ответ: S=2