Question

Избавьтесь от иррациональности

Answer 1

$frac{1}{ sqrt{a+3}-2 } = frac{1}{ sqrt{a+3}-2 } * frac{sqrt{a+3}+2 }{ sqrt{a+3}+2 } = frac{sqrt{a+3}+2 }{(sqrt{a+3}-2 )(sqrt{a+3}+2 )} = frac{sqrt{a+3}+2}{a+3-4}$

Так можно было умножить, потому что $sqrt{a+3}+2 textgreater 0$ и потому что умножение на выражение $frac{sqrt{a+3}+2 }{sqrt{a+3}+2 }$ не изменяет области определения начального выражения.

Второй скользкий момент было сделано умножение по формуле упрощенного умножения: $(sqrt{a+3}+2)*(sqrt{a+3}-2 )=( sqrt{a+3} )^2-2^2=a+3-4=a-1$ казалось бы что такого? А вот это же не всегда правда!
$(sqrt{a+3}+2)*(sqrt{a+3}-2 )=$
$= sqrt{a+3}* sqrt{a+3}+ 2sqrt{a+3}- 2 sqrt{a+3}-4 =$
$=sqrt{a+3}* sqrt{a+3}-4 neq a+3-4=a-1$
Почему не равно, да потому что левое и правое выражения имеют разные области определения, в правое можно подставить любое действительное значение $a$, в левое же можно подставить лишь значение из интервала $[-3;+infty)$
Но мы можем это использовать в наших действиях, потому что в числителе сохраняется корень, который требует, что бы а как раз и было из указанного интервала (если не учитывать 1-цу).

P.S. область определения и начального и конечного выражений это вот такой интервал $[-3;1)cup(1;+infty)$