Question

Есть два двузначных числа, каждое из которых равно неполному квадрату разности своих цифр. Одно число на 11 больше другого. Найдите эти числа. В ответе укажите большее из них.

Answer 1

Меньшее  число : 
Первая цифра (десятки) - х
Вторая цифра (еденицы)   - у
Первое число  :  (10х +у)
Неполный квадрат числа : х²-ху +у²
Первое уравнение : 10х+у = х²-ху +у²

Большее число:  
Первая цифра  ( десятки)  - (х+1)
Вторая цифра ( единицы) - (у+1)
Второе число  :  10(х+1)  + у+1 = 10х+10+у+1=10х+у+11
Второе уравнение: 10х +у +11 = (х+1)²  - (х+1)(у+1) + (у+1)²

Система уравнений:
{10x+y = x²-xy +y²
{10x+y+11= (x+1)² -(x+1)(y+1) +(y+1)²

{10x+y = x²-xy+y²
{10x+y +11= x² +2x+1  - (xy +x +y+1) + y²+2y+1

{10x+y=x²-xy+y²
{ 10x+ y +11 = x²+2x+1-xy-x-y-1+y²+2y+1

{10x+y =x²-xy+y²
{10x+y +11 = x²+x +y²+ y -xy +1

{10x+y =x²-xy +y²
{10x+y +11 = (x²-xy+y²) + x+y+1
Вычтем из второго уравнение первое:
10х +у +11  - (10х+у) = (х²-ху +у²) +х+y+1  - (x²-xy +y²)
11=x+y+1
11-1-y=x
x=10-y
Подставим значение х в первое уравнение:
10(10-у) +у = (10-у)² - у(10-у) + у²
100 -10у +у = 100- 20у + у² - 10у + у² +у²
100 - 9у = 100 - 30у  + 3у²
-9у + 30у - 3у² = 100-100
21у  - 3у²=0
3у(7-у)=0
Произведение =0, если один из множителей = 0 :
3у=0   ⇒   у₁=0     ⇒   х₁= 10-0=10   не удовлетворяет условию задачи
7- у=0 ⇒   у₂= 7    ⇒  х₂= 10-7 = 3  
Следовательно: 
меньшее  число     37 
большее  число    (37+11) = 48

Проверим:
3²- 3*7+7²= 9 - 21 +49 = 37
4² - 4*8 + 8² = 16-32+64= 48

Ответ:   48.