Question

1.Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке М.

1) Выразите вектор AM через векторы AB и BC
2) Найдите вектор BC если диагонали ромба равны 12 и 16.
3) Найдите вектор AC, если A(3;1), C (-1;4)

2.Даны точки A (3;1) , B (-1;4), C (2; -3) D (-2; -4)
1) Найдите координаты и длины векторов AC и BD
2) Найдите координаты и длину вектора m= 3AC-4BD


3. Отрезок АС лежит на стороне острого угла О. Из концов отрезка и его середины В опущены перпендикуляры AM, BP и СТ на другую сторону угла. Найдите длину отрезка ВР, если AM = 34 см, СТ = 18 см.

Answer 1

1. Сложение векторов AB + BC определяется из правила параллелограмма.

Путем параллельного переноса соединить начала обоих векторов в одной точке, достроить до параллелограмма. Диагональ параллелограмма является суммой двух векторов

$tt overrightarrow{tt AC}=overrightarrow{tt AB}+overrightarrow{tt BC}$

Диагонали в точке пересечения M делятся пополам, т.е.

$tt overrightarrow{tt AM}=frac{1}{2}overrightarrow{tt AC}=frac{1}{2}cdot bigg(overrightarrow{tt AB}+overrightarrow{tt BC}bigg)$

2) Длину вектора ВС можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ABM, в нем |BM|=|BD|/2 = 8 см; |AM| = 6 см

$tt overrightarrow{tt BC}=sqrt{8^2+6^2}=10$ см

3) Для начала найдем координаты вектора АС:

$tt overrightarrow{tt AC}={-1-3;4-1}={-4;3}\ |overrightarrow{tt AC}|=sqrt{(-4)^2+3^2}=5~~ _{CM}$

2. 1) Координаты вектора АС: $tt overrightarrow{tt AC}={2+3;-3-1}={5;-4}$

Длина вектора АС: $tt |overrightarrow{tt AC}|=sqrt{5^2+(-4)^2}=sqrt{41}$ см

  2) Координаты вектора BD: $overrightarrow{tt BD}=tt {-2+1;-4-4}={-1;-8}$

Длина вектора BD: $tt |overrightarrow{tt BD}|=sqrt{(-1)^2+(-8)^2}=sqrt{65}$ см

3.CT || AM || BP как перпендикулярны к одной прямой, значит четырехугольник AMTC - прямоугольная трапеция, BP - средняя линия трапеции, следовательно

$tt BP=dfrac{AM+CT}{2}=dfrac{18+34}{2}=26$ см