Question

Помогите плиз, ничего в геометрии не понимаю:
На рисунке 113 изображен квадрат ABCD, стороны которого продолжены так, что AP = BQ = CR = DS. Докажите что четырехугольник PQRS - квадрат.

Answer 1

Рассмотрим ∆PQB и ∆QRC.
QB = PA
PB = QC (т.к. BC = AB и QC = QB + BC, PB = PA + AB).
∠QCR = 90° - как смежный угол с прямым углом.
Аналогично ∠ABQ = 90°.
Тогда ∆PQB = ∆QRC - по двум катетам.
Из равенства треугольников => QR = AQ, ∠QPB = ∠RQC и ∠PQB = ∠QRC.
Аналогично ∆PAS = ∆SDR (AS = DR, AP = CR, ∠PAS = ∠RDS = 90°). Из этого равенства следует, что PS = RS.
Рассмотрим ∆PQB и ∆SAP.
Они также равны ( AS = PB, AP = QB, ∠PAS = ∠PBQ = 90°).
Из всех равенства следует, что QR = RS = PS = QP. Тогда QRSP - ромб. Но ∠PQB + ∠CQR = 90° - ∠QPB + ∠CQR = 90° - ∠QPB + ∠QPB => QRSP - квадрат (его стороны равны и перпендикулярны друг другу).