Question

Найти площадь, поменяв пределы интернирования

Answer 1

$intlimits^9_0 dx intlimits^{x+1}_{ frac{x^2}{9}+1 } dy= intlimits^9_0(y)|^{x+1}_{ frac{x^2}{9}+1 } dx= \ \ =intlimits^9_0 (x- frac{x^2}{9})dx=( frac{x^2}{2}- frac{x^3}{27})| ^9_0 = frac{9^2}{2}- frac{9^3}{27}= frac{81}{6}=13,5$

Меняем пределы интегрирования
при х=0 у=1
при х=9 у=10
1≤у≤10;
у=х+1 ⇒ 
х=у-1
у=(х²/9)+1 ⇒ 
х²=9(у-1)
y-1≤x≤3√(y-1)

$intlimits^{10}_1 dy intlimits^{ 3sqrt{y-1} }_{y-1 } dx= intlimits^{10}_1(x)|^{ 3sqrt{y-1} }_{ y-1}dx= \ \ =intlimits^{10}_1 ( 3sqrt{y-1}-y+1)dy =(3 frac{(y-1)^{ frac{3}{2} }}{ frac{3}{2} }- frac{y^2}{2}+y)| ^{10}_1 =$

$(3 frac{(10-1)^{ frac{3}{2} }}{ frac{3}{2} }- frac{10^2}{2}+10)-(3 frac{(1-1)^{ frac{3}{2} }}{ frac{3}{2} }- frac{1^2}{2}+1) =54-50+10-0,5=$

=13,5