Question

Найдите промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремума y=x^3+3x^2-9x

Answer 1

Найдите промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремума  

$displaystyle y=x^3+3x^2-9x$

1) Функция определена на всей области R. Значит она является непрерывной на всей области определения

2) Найдем производную данной функции

$displaystyle y`=3*x^2+6x-9$

Для того, чтобы найти точки экстремума данной функции нужно найти в каких точках производная равна нулю

$displaystyle 3x^2+6x-9=0$

разделим на 3

$displaystyle x^2+2x-3=0$

$displaystyle D=4-4*(-3)=4+12=16=4^2$

$displaystyle x_1= frac{-2+4}{2}=1$

$displaystyle x_2= frac{-2-4}{2}=-3$

Значит точки экстремума х=1 и х=-3

3) Чтобы определить какая из данных точек является точкой максимума, а какая точкой минимума необходимо рассмотреть значение производной на полученных интервалах

___+________-___________+_______
             -3                         1

Если производная на промежутке принимает положительное значение то функция на данном промежутке  возрастает, если отрицательное- то функция убывает

Значит на промежутке (-∞;-3) ∪ (1;+∞)  функция возрастает
на промежутке (-3;1) убывает

4) если до точки х= -3 функция возрастает а после точки -3 убывает, значит при х= -3 точка максимума функции
 если до точки х=1 функция убывает, а после точки х=1 возрастает то в точка х=1 точка минимума

найдем значение функции в этих точках 

$displaystyle y(-3)=(-3)^3+3*(-3)^2-9*(-3)=-27+27+27=27$

$displaystyle y(1)=1^3+3*1^2-9*1=1+3-9=-5$