Question

Найдите все значения a,при каждом из которых уравнение

64x^6- (3x+a)^3+4x^2 - 3x = a

Имеет более одного корня.

Answer 1

$displaystyle 64x^6-(3x+a)^3+4x^2-3x=a\\(4x^2)^3+(4x^2)=(3x+a)^3+(3x+a)$

Рассмотрим функцию

$displaystyle f(z)=z^3+z$

определим ее свойства

$displaystyle f`(z)=(z^3+z)`=2z^2+1\\f`(z)=0\\2z^2+1=0\\2z^2=-1\\z^2=-frac{1}{2}$

Мы видим что решений нет. Значит и f`(z) >0 для любого Z

Значит наша функция монотонно возрастающая и

тогда

$displaystyle k=4x^2; m=3x+a\ f(k)=k^3+k; f(m)=m^3+m \\ f(k)=f(m)$

только в одной точке, а именно когда m=k

$displaystyle 4x^2=3x+a$

получили квадратное уравнение, которое будет иметь более 1 корня при условии что D>0

$displaystyle 4x^2-3x-a=0\\D=3^2-4*4*(-a)>0\\9+16a>0\\16a>-9\\a>-frac{9}{16}$

Ответ при a> -⁹/₁₆