Question

Интегрирование рациональных дробей.
$intlimits frac{x^2}{(x-2)(x^2+1)} , dx$

Answer 1

Метод неопределённых коэффициентов

$displaystyle intlimits { frac{x^2}{(x-2)(x^2+1)} } , dx =intlimits { frac{Ax+B}{x^2+1} } , dx +intlimits { frac{C}{x-2} } , dx boxed{=}$

*********************************************************
$dfrac{x^2}{(x-2)(x^2+1)} = dfrac{Ax+B}{x^2+1} + dfrac{C}{x-2}$

Приводя к общему знаменателю, получим
$x^2=(Ax+B)(x-2)+C(x^2+1)$

Найдем коэффициенты A, B, C.
$x^2,:, , 2^2=0+Ccdot (2^2+1)\ x^0,:, ,0=Bcdot (-2)+C\ x^1,:, ,1=-A-B+2C$

Решая систему уравнений, получим: $begin{cases} & text{ } C= ,,,,dfrac{4}{5} \ & text{ } B= dfrac{2}{5} \ & text{ } A=,,,,dfrac{1}{5} end{cases}$
*******************************************************

$displaystyle boxed{=} intlimits { frac{ frac{1}{5}x+ frac{2}{5} }{x^2+1} } , dx +intlimits { frac{ frac{4}{5} }{x-2} } , dx = frac{1}{5} intlimits { frac{x+2}{x^2+1} } , dx + frac{4}{5} intlimits { frac{dx}{x-2} } , =\ \ \ = frac{1}{5} intlimits { frac{xdx}{x^2+1} } , + frac{2}{5} intlimits { frac{dx}{x^2+1} } , + frac{4}{5} intlimits { frac{dx}{x-2} } ,= \ \ \ = frac{1}{10}ln (x^2+1)+ frac{2}{5} arctg x+ frac{4}{5} ln|x-2|+C$