Question

Решить неравенство

$log_{x^2-x+1}(x^2+6x+8)+log_{frac{1}{x^2-x+1}}(x+2) textless frac{1}{log_{5/2}(x^2-x+1)}$

Answer 1

$log_{x^2-x+1}(x^2+6x+8)+log_{frac{1}{x^2-x+1}}(x+2) textless frac{1}{log_{ frac{5}{2} }(x^2-x+1)}$

Найдем ОДЗ:

$1)$
$x^2-x+1 neq 1}$

${{x^2-x neq 0}$

$x(x-1) neq 0$

$x neq 0,$    $x neq 1$

$2)$
$x^{2} -x+1 textgreater 0$

$x^{2} -x+1=0$

$D=(-1)^2-4*1*1 textless 0$

$a=1 textgreater 0$

парабола $y=x^2-x+1$ расположена над осью OX, т. е. $y textgreater 0$ при любом значении x, поэтому данное неравенство верно при любых значениях x, т. е. $x$ ∈ $R$

$3)$
$x^{2} +6x+8 textgreater 0$

$x^2+6x+8=0$

$D=6^2-4*1*8=4$

$x_1= frac{-6+2}{2} =-2$

$x_2= frac{-6-2}{2} =-4$

$(x+2)(x+4) textgreater 0$

$4)$
$log_{2.5}(x^2-x+1) neq 0$

$log_{2.5}(x^2-x+1) neq log_{2.5}1$

$x^2-x+1 neq 1$

$x neq 0,$   $x neq 1$

$5)$
$x+2 textgreater 0$

$x textgreater -2$

Отметим на числовой прямой и найдем общее решение ОДЗ:

     +                    -                      +
----------(-4)---------------(-2)-------------------
//////////////                         /////////////////
------------------------------------(0)-----(1)---------
/////////////////////////////////////////////////////////
-------------------------------(-2)---------------------
                                        /////////////////

$x$ ∈ $(-2;0)$ ∪ $(0;1)$ ∪ $(1;+$ ∞ $)$

$log_{x^2-x+1}(x^2+6x+8)+log_{{(x^2-x+1)^{-1}}}(x+2) textless {log_{x^2-x+1}2.5}$

$log_{x^2-x+1}(x^2+6x+8)-log_{{x^2-x+1}}(x+2) textless {log_{x^2-x+1}2.5}$

$log_{x^2-x+1}(x^2+6x+8) textless {log_{x^2-x+1}2.5}+log_{{x^2-x+1}}(x+2)$

$log_{x^2-x+1}(x^2+6x+8) textless {log_{x^2-x+1}[2.5(x+2)]}$

$log_{x^2-x+1}(x^2+6x+8) textless {log_{x^2-x+1}(2.5x+5)}$

$1)$

$left { {{0 textless x^2-x+1 textless 1} atop {x^2+6x+8 textgreater 2.5x+5}}} right.$

$left { {{x^2-x+1 textgreater 0}atop {x^2-x+1 textless 1}} atop {x^2+6x+8 textgreater 2.5x+5}}} right.$

$left { {{x^2-x+1 textgreater 0}atop {x^2-x textless 0}} atop {x^2+3.5x+3 textgreater 0}}} right.$

$left { {{x^2-x+1 textgreater 0}atop {x(x-1) textless 0}} atop {x^2+3.5x+3 textgreater 0}}} right.$

$x^{2} +3.5x+3=0$
$D=3.5^2-4*1*3=12.25-12=0.25$
$x_1= frac{-3.5+0.5}{2}=-1.5$
$x_2= frac{-3.5-0.5}{2}=-2$
$x^{2} -x+1 textgreater 0$  ⇒ $x$ ∈ $R$
 
      +                              -               +
-------------------------(0)-------(1)-------------
                                ///////////
  +          -                          +
-----(-2)-----(-1.5)-------------------------------
////////               //////////////////////////////

$x$ ∈ $(0;1)$

$2)$

$left { {{x^2-x+1 textgreater 1} atop {x^2+6x+8 textless 2.5x+5}}} right.$

$left { {{x^2-x textgreater 0} atop {x^2+3.5x+3 textless 0}}} right.$

$left { {{x(x-1) textgreater 0} atop {(x+1.5)(x+2) textless 0}}} right.$
 
            +                                -                    +
-----------------------------(0)-------------(1)--------------
///////////////////////////////////                //////////////
     +            -                              +
---------(-2)-------(-1.5)------------------------------
              //////////

$x$ ∈ $(-2;-1.5)$

Объединяем 1) и 2) случаи и получаем общее решение  неравенства:

$x$ ∈ $(-2;-1.5)$ ∪ $(0;1)$

Найдем пересечение с ОДЗ:

-------------------------(-2)--------------(0)-----(1)-----------------
                              /////////////////////////////////////////////
--------------------------(-2)---(-1.5)----(0)-----(1)----------------
                                ///////             ////////

Ответ: $(-2;-1.5)$ ∪ $(0;1)$