Question

Диагонали параллелограмма равны 6 см и 2√31 см, а его периметр 24 см. Найдите длину большей стороны параллелограмма.

Answer 1

Обозначим стороны параллелограмма х и у, а острый угол α.
Так как тупой угол равен 180-α, то cos(180-α) = -cos α.
По теореме косинусов диагонали равны:
х²+у²-2ху*cosα = 36,
х²+у²+2ху*cosα = 124. Если сложить левые и правые части этих уравнений, то получим 2х²+2у² = 160  или х²+у² = 80  (1).
Периметр равен 2х+2у = 24 (по заданию) или х+у = 12.
Делаем замену у = 12 - х и подставим в уравнение (1).
х²+144-24х+х² = 80.
Получаем квадратное уравнение:
2х²-24х+64 = 0   или  х²-12х+32 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=(-12)^2-4*1*32=144-4*32=144-128=16;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁=(√16-(-12))/(2*1)=(4-(-12))/2=(4+12)/2=16/2=8;x₂=(-√16-(-12))/(2*1)=(-4-(-12))/2=(-4+12)/2=8/2=4.

Отсюда видно, что большая сторона равна 8 см.