Question

Решение выкладывайте с подробным объяснением)

 

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны 1.Найдите угол между плоскостями ABG и CDF ,где  F -средина ребра SB ,а G-середина ребра SC.

 

Ответ: $arccos frac{7}{11}$

Answer 1

сечениями будут равнобокие трапеции, причем равные...

ребро пирамиды обозначим (а) а = 1

боковые грани пирамиды ---правильные треугольники...

одно основание трапеции = ребру пирамиды = а,

второе основание (меньшее) = средней линии боковой грани пирамиды = а/2

боковая сторона трапеции = медиане боковой грани пирамиды = а*V3 / 2

(высота трапеции)^2 = (а*V3 / 2)^2 - (a/4)^2 = 3a^2 / 4 - a^2 / 16 = 11a^2 / 16

высота трапеции = a*V11 / 4

если обозначить пересечение CF и BG как Е (и на противоположной грани пирамиды симметричную точку обозначить Е1), то ЕЕ1 ---линия пересечения плоскостей

ЕЕ1 || AB || CD

угол между плоскостями ---угол между перпендикулярами к ЕЕ1, лежащими в этих плоскостях (угол между отрезками высот трапеций),

причем этот угол ---угол при вершине O треугольника GOH, где точка О лежит на ЕЕ1, GO _|_ EE1, OН _|_ EE1, GO+OH = высоте трапеции, GH = а*V3/4

 

точка Е ---пересечение медиан равностороннего треугольника (боковой грани пирамиды) => точка Е разбивает медианы (а это боковая сторона трапеции...) в отношении 2:1, считая от вершины треугольника => и высота трапеции разбивается прямой ЕЕ1 на отрезки в отношении 2: 1, т.е. GO:OH = 1:2, т.е. OH = 2GO

GO = (a*V11 / 4) / 3 = a*V11 / 12

OН = 2*(a*V11 / 12) = a*V11 / 6

по т.косинусов из треугольника GOH

(GН)^2 = OH^2 + GO^2 - 2*OH*GH*cos(GOH)

3a^2 / 16 = 11a^2 / 36 + 11a^2 / 144 - (11a^2 / 36)*cos(GOH)

3a^2 / 16 - 11a^2 / 144 = (11a^2 / 36)*(1-cos(GOH))

1-cos(GOH) =  16a^2 / 144 : (11a^2 / 36) = 4/11

cos(GOH) = 1 - 4/11 = 7/11

искомый угол = arccos(7/11)