Question

Треугольник ABC прямоугольный, C = 90 градусов. Продолжение биссектрисы CK пересекает описанную около треугольника ABC окружность в точке P, при этом CK = 2, KP = 4. Найти радиус окружности.

Answer 1

∠ACP = 1/2 ∠ACB = 45°. Это вписанный угол, опирающийся на дугу АР. Значит, ∠АОР = 2∠АСР = 90°, как центральный, опирающийся на ту же дугу.
ΔОКР: по теореме Пифагора
KP² = KO² + OP²
16 = R² + x²
По свойству отрезков пересекающихся хорд:
CK · KP = AK · KB
2 · 4 = (R - x) · (R + x)
8 = R² - x²
Получили систему уравнений:
R² + x² = 16
R² - x² = 8

2R² = 24
R² = 12
R = √12 = 2√3