Question

треугольник АВС вписан в окружность.Известно,что величина угла А равна 75 градусов, угла В равна 45 градусов.Хорда АК составляет угол 15 градусов с хордой АС.НАЙДИТЕ ОТНОШЕНИЕ ПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКА АВС К ПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКА АВК.

Answer 1

Рассмотрим случай, когда хорда АК лежит вне ∆АВС. Чертеж во вложении.

1) По теореме о сумме углов треугольника в ∆АВС ∠С=180°-45°-75°=60°.

2)∠ВКА=∠ВСА = 60° (опираются на одну и ту же дугу АВ). Поэтому в ∆АВК и  ∆АВС ∠ВКА=∠ВСА, следовательно, площади тих треугольников пропорциональны произведениям сторон, образующих равные углы этих треугольников, т.е.

$frac{S_{ABC}}{S_{ABK}}=frac{BC*AC}{BK*AK}$

3) В ∆АВК ∠ВАК = 75°+15°=90°. Следовательно, ∆АВК - прямоугольный, а гипотенуза ВК является диаметром окружности.

В  ∆АВК ∠АВК = 90°-60°=30°, значит, гипотенуза ВК=2АК.

4) В ∆АВС по теореме синусов

$frac{AC}{sin 45^0}=2R \ AC=BK*frac{sqrt2}{2}=AKsqrt2$

5) ∆ВCК-прямоугольный, ∠ВСК = 90° (опирается на полуокружность, либо по свойству противоположных углов вписанного четырехугольника).

∠КВС=∠АКС = 15° (опираются на одну и ту же дугу КС).

Поэтому ВС=BK*cos15°

$cos15^0=cos(45^0-30^0)=cos45^0cos30^0+sin45^0sin30^0= \ =frac{sqrt2}{2}*frac{sqrt3}{2}+frac{sqrt2}{2}*frac{1}{2}=frac{sqrt6}{4}+frac{sqrt2}{4}=frac{sqrt6+sqrt2}{4} \ BC=BKfrac{sqrt6+sqrt2}{4}=AKfrac{sqrt6+sqrt2}{2}$

6) Итак,

$frac{S_{ABC}}{S_{ABK}}=frac{BC*AC}{BK*AK}=(AKfrac{sqrt6+sqrt2}{2}*AKsqrt2):(2AK*AK)= \ =frac{sqrt6+sqrt2}{4}*sqrt2= frac{sqrt{12}+2}{4}=frac{sqrt3+1}{2}$

Ответ: $S_{ABC}:S_{ABK}=(sqrt3+1):2$