Question

№1  Отрезок BD является биссектрисой треугольника АВС.
        а) Найдите АВ, если ВС = 9 см, AD = 7,5 см, DC = 4,5 см.
        b) Найдите DC, если АВ = 30, AD = 20, BD = 16 и Угол  BDC = Угол  C.

№2  В параллелограмме ABCD отрезок АМ является биссектрисой угла BAD. В                   каком отношении АМ делит диагональ BD, если стороны параллелограмма                относятся как 4 : 7.

№3  Биссектриса AD треугольника АВС делит сторону ВС на отрезки CD и BD,                   равные 4,5 см и 13,5 см. Найдите АВ и АС, если периметр треугольника АВС              равен 42 см.

№4  Периметр треугольника CDE равен 55 см. В этот треугольник вписан ромб                 DMFN так, что вершины M, F и N лежат соответственно на сторонах CD, CE и              DE. Найдите стороны CD и DE, если CF = 8 см, EF = 12 см.

Answer 1

Итак, биссектриса делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам
№1. а) Исходя из этого свойства биссектрисы, 9/4.5=2 => 7/5*2=15см - АВ
б) т.к. угол BDC равен углу С, то это треугольник BDC равнобедренный. BD=16, BC=16
Исходя из свойства биссектрисы, 30/20=16/x, откуда х=10.6
DC=10.6см
№2. Рассматриваем получившийся треугольник ABD. AM - биссектриса => 7/MD=4/MB => MB=4/7MD
Значит, биссектриса делит диагональ в таком же отношении 4:7
№3. P=AB+AC+18
AB+AC=24
т.к. AC/DC=AB/BD, то AC=3AB
подставляем
3AB+AB=24 => AB=6см
откуда AC=18см
4. DF - биссектриса => DC/CF=DE/EF => DC/8=DE/12 => DE=1.5DC
P=CD+DE+CE=CD+1.5CD+20
2.5CD=35
CD=14, откуда DE=21