Question

Точка Н - ортоцентр труегольника Авс.Прямая АН пересекает описанную около АВС окружность в точке А1. Докажите,что прямая ВС делит отрезок НА1 пополам.

Answer 1

Ортоцентр треугольника  — точка пересечения  его высот или их продолжений.  

Обозначим высоту из С - СК, высоту из А - АМ. 

∆АВМ~∆КВС - прямоугольные с общим острым углом при В. 

Отсюда ∠ВАМ=∠ВСК. 

 Вписанные ∠А1СВ и ∠ВАА1 опираются на одну дугу ВА1 - след. они равны. 

В ∆ НСА1 угол НМС прямой, отрезок СМ - высота и биссектриса - что является свойством высоты равнобедренного треугольника. Поэтому СМ еще и медиана, и НМ=МА1. 

Прямая ВС делит НА1 пополам, ч.т.д.