Question

Основание пирамиды - прямоугольный треугольник с острым углом 30. Высота пирамиды равна 4 см и образует со всеми боковыми ребрами углы 45. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.пожалуйста,с рисунком

Answer 1

Дано: пирамида SABC, SH⊥(ABC), SH = 4 см,

          ∠ASH=∠CSH=∠BSH=45°, ∠ACB=90°, ∠BAC=30°

Найти : Sбок

Решение : так как боковые рёбра образуют с высотой пирамиды равные углы, значит, они образуют равные углы с основанием пирамиды (острые углы прямоугольных треугольников, равных по общему катету и острому углу). ⇒ Высота опускается в центр окружности, описанной около основания пирамиды. Основание пирамиды - прямоугольный треугольник, центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.    H ∈ AB, AH = BH.

SH⊥(ABC)  ⇒  SH⊥AB  ⇒  ∠SHA=90°

ΔSAH - прямоугольный равнобедренный, так как ∠SAH=∠ASH=45°   ⇒  AH = SH = 4 см    ⇒  AB = AH + BH = 8 см;  SA = 4√2 см

SA = SB = SC = 4√2 см

ΔABC - прямоугольный. Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. BC = AB/2 = 4 см

По теореме Пифагора

AC² = AB² - BC² = 8² - 4² = 48

AC = √48 = 4√3 см

$S_{Delta ASB}=dfrac{ABcdot SH}2=dfrac {8cdot 4}2=16$ см²

Площадь двух других граней можно найти по формуле Герона

$S=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

ΔASC, $p=dfrac{4sqrt2+4sqrt2+4sqrt3}2=4sqrt2+2sqrt3$

$S_{Delta ASC}=sqrt{(4sqrt2+2sqrt3)(4sqrt2+2sqrt3-4sqrt2)(4sqrt2+2sqrt3-4sqrt2)(4sqrt2+2sqrt3-4sqrt3)}=\\=sqrt{(4sqrt2+2sqrt3)(2sqrt3)(2sqrt3)(4sqrt2-2sqrt3)}=sqrt{(32-12)cdot 12}=sqrt{240}boldsymbol{=4sqrt{15}}$

ΔBSC, $p=dfrac{4sqrt2+4sqrt2+4}2=4sqrt2+2$

$S_{Delta BSC}=sqrt{(4sqrt2+2)(4sqrt2+2-4sqrt2)(4sqrt2+2-4sqrt2)(4sqrt2+2-4)}=\\=sqrt{(4sqrt2+2)cdot2cdot2(4sqrt2-2)}=sqrt{(32-4)cdot 4}=sqrt{28cdot 4}boldsymbol{=4sqrt{7}}$

$S=S_{Delta ASB}+S_{Delta ASC}+S_{Delta BSC}=16+4sqrt{15}+4sqrt 7$

Ответ:  4(4 + √15 + √7) см²