Question

Пожалуйста помогите, математика,даю 15 баллов

Answer 1

$C_n^1+2C_n^2+...+nC_n^n=2^{n-1}n$

Рассмотрим два случая: n - нечетное и четное.
1) n - нечетное
$n=2k+1\ C_n^1+C_n^2+...+kC_n^k+(k+1)C_n^{k+1}+...+(n-2)C_n^{n-2}+\+(n-1)C_n^{n-1}+nC_n^n=\ =(C_n^1+(n-1)C_n^{n-1})+(C_n^2+(n-2)C_n^{n-2})+...\+(kC_n^k+(k+1)C_n^{k+1})+nC_n^n=\ =(1+n-1)C_n^1+(2+n-2)C_n^2+...+(k+k+1)C_n^k+nC_n^n=\ =nC_n^1+nC_n^2+...+nC_n^k+nC_n^n=n(C_n^0+C_n^1+C_n^2+...+C_n^k)=\ = frac{n}{2} (C_n^0+C_n^1+C_n^2+...+C_n^k+C_n^{n-k}+...+C_n^{n-2}+C_n^{n-1}+C_n^n)=\ =frac{n}{2}2^n=2^{n-1}n$

2) n -  четное
$n=2k\ C_n^1+C_n^2+...+kC_n^k+(k+1)C_n^{k+1}+...+(n-2)C_n^{n-2}+\+(n-1)C_n^{n-1}+nC_n^n=\ (C_n^1+(n-1)C_n^{n-1})+(C_n^2+(n-2)C_n^{n-2})+...+kC_n^k\ nC_n^1+nC_n^2+...+kC_n^k+nC_n^n=n(C_n^0+C_n^1+C_n^2+...+C_n^{k-1})+kC_n^k\ =n(C_n^0+C_n^1+C_n^2+...+C_n^{k-1}+ frac{1}{2} C_n^k)=\ frac{n}{2} (2C_n^0+2C_n^1+2C_n^2+...+2C_n^{k-1}+ C_n^k)=\ frac{n}{2} (C_n^0+C_n^1+C_n^2+...+C_n^{k-1}+ C_n^k+C_n^{n-k+1}+...\ +C_n^{n-2}+C_n^{n-1}+C_n^n)=frac{n}{2}2^n=2^{n-1}n$

При доказательстве тождества применялись формулы:
$C_n^k=C_n^{n-k}$
 Бином Ньютона
$(a+b)^n=C_n^0a^n+C_n^1a^{n-1}b+C_n^2a^{n-2}b^2+...+C_n^ka^{n-k}b^k+...\ +C_n^{n-2}a^2b^{n-2}+C_n^{n-1}ab^{n-1}+C_n^nb^n$
при a=b=1
$(1+1)^n=C_n^0a^n+C_n^1a^{n-1}b+C_n^2a^{n-2}b^2+...+C_n^ka^{n-k}b^k+...\ +C_n^{n-2}a^2b^{n-2}+C_n^{n-1}ab^{n-1}+C_n^nb^n=2^n$