Question

МАТАН, первый курс, кто может, помогите (последние 3 задания, или хотя бы одно из них) (найти область сходимости степенного ряда)

Answer 1

$4)\; \; xy'-y=y^2\\\\y'= \frac{y^2+y}{x} \; \; ,\; \; \; \frac{dy}{dx} =\frac{y^2+y}{x} \\\\\int \frac{dy}{y^2+y} =\int \frac{dx}{x} \\\\\int \frac{dy}{y^2+y}=\int \frac{dy}{y(y+1)}=\int \frac{dy}{y}-\int \frac{dy}{y+1} =ln|y|-ln|y+1|+C_1=\\\\=ln\Big | \frac{y}{y+1} \Big |+C_1\\\\\int \frac{dx}{x}=ln|x|+C_2$

$ln\Big| \frac{y}{y+1}\Big |=ln|x|+ln|C|\\\\ \frac{y}{y+1} =Cx\; \; -\; \; obshee\; reshenie\\\\y(1)=-0,5:\; \; \; \frac{-0,5}{-0.5+1} =C \; ,\; \; C=-1\\\\ \frac{y}{y+1} =x\; \; \; -\; \; chastnoe\; reshenie$

$5)\; \; \sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{2^{n}}{3^{n}}\cdot x^{n} \\\\ \lim\limits _{n \to \infty} \frac{|u_{n+1}|}{|u_{n}|} = \lim\limits _{n \to \infty} \frac{2^{n+1}\cdot |x|^{n+1}}{3^{n+1}} \cdot \frac{3^{n}}{2^{n}\cdot |x|^{n}} = \frac{2}{3}\cdot |x|\ \textless \ 1\\\\|x|\ \textless \ \frac{3}{2}\\\\- \frac{3}{2}\ \textless \ x\ \textless \ \frac{3}{2}$

$x=- \frac{3}{2} \; \; \to \; \; \sum \limits _{n=1}^{\infty } (-1)^{n}\; \; -\; \; rasxoditsya\\\\x= \frac{3}{2}\; \; \to \; \; \sum \limits _{n=1} ^{\infty }1^{n}=\sum \limits _{n=1}^{\infty}1\; \; -\; \; rasxoditsya\\\\x\in (-\frac{3}{2},\frac{3}{2})\; \; -\; \; oblast\; sxodimosti$