Question

Решить уравнение:

$\cos^3 x\cdot \sin 3x-\cos 3x\cdot \sin^3 x=2\sqrt{2}\sin 2x(\cos 3x\cdot \cos^3 x+ \sin 3x \sin^3 x)$

Answer 1

преобразуем сначала левую часть уравнения, затем правую:
$1)cos^3x*sin3x-cos3x*sin^3x= \\= \frac{3cosx+cos3x}{4}*sin3x -\frac{3sin-sin3x}{4}*cos3x= \\=\frac{(3cosx+cos3x)*sin3x-cos3x*(3sinx-sin3x)}{4} = \\= \frac{3cosx*sin3x+cos3x*sin3x-3sinx*cos3x+sin3x*cos3x}{4}= \\=\frac{2cos3x*sin3x+3(cosx*sin3x-sinx*cos3x)}{4}= \\= \frac{sin6x+3*sin(3x-x)}{4} = \frac{sin6x+3sin2x}{4}$
$2)cos3x*cos^3x+sin3x*sin^3x= \\=\frac{3cosx+cos3x}{4} *cos3x +\frac{3sinx-sin3x}{4}*sin3x= \\= \frac{cos3x*(3cosx+cos3x)+sin3x*(3sinx-sin3x)}{4}= \\= \frac{3cosx*cos3x+cos^{2}3x+3sinx*sin3x-sin^{2}3x}{4}= \\= \frac{cos6x+3(cosx*cos3x+sin*sin3x)}{4}= \frac{cos6x+3cos(x-3x)}{4}= \\= \frac{cos6x+3cos2x}{4}$
подставляем в уравнение:
$\frac{sin6x+3sin2x}{4}=2\sqrt{2}*sin2x*\frac{cos6x+3cos2x}{4} \\sin6x+3sin2x=2\sqrt{2}*sin2x*(cos6x+3cos2x) \\2x=a \\sin3a+3sina=2\sqrt{2}*sina*(cos3a+3cosa) \\3sina-4sin^3a+3sina=2\sqrt{2}*sina*(cos3a+3cosa) \\3sina-2sin^3a-\sqrt{2}*sina*(cos3a+3cosa)=0 \\sina(3-2sin^2a-\sqrt{2}*(cos3a+3cosa))=0 \\sina=0 \\sin2x=0 \\2x=0+2\pi n \\x_1=\pi n \\3-2sin^2a-\sqrt{2}*(cos3a+3cosa)=0 \\3-2(1-cos^2a)=\sqrt{2}*(4cos^3a-3cosa+3cosa) \\3-2+2cos^2a=\sqrt{2}*4cos^3a$
$1+2cos^2a=\sqrt{2}*4cos^3a \\cosa=y$
в итоге получаем уравнение:
$4\sqrt{2}y^3-2y^2-1=0$
делим все на $\sqrt{2}$:
$4y^3-\sqrt{2}y^2- \frac{\sqrt{2}}{2}=0$
данное уравнение имеет один действительный и два комплексно-сопряженных корня.
подбираем корни:
$\frac{\sqrt{2}}{2}$ - делитель свободного члена и к тому же табличное значение косинуса.
проверяем:
$4*(\frac{\sqrt{2}}{2})^3-\sqrt{2}*(\frac{\sqrt{2}}{2})^2-\frac{\sqrt{2}}{2}=0 \\4*2^{- \frac{3}{2}}- \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=0 \\ \sqrt{2} -\sqrt{2}=0$ - верно, значит $\frac{\sqrt{2}}{2}$ является корнем данного уравнения.
$cosa=\frac{\sqrt{2}}{2} \\cos2x=\frac{\sqrt{2}}{2} \\2x=+- \frac{\pi}{4}+2\pi n \\x=+- \frac{\pi}{8}+\pi n$
Ответ: $x_1=\pi n;\ x_2=\frac{\pi}{8}+\pi n;\ x_3=- \frac{\pi}{8}+\pi n$