Question

Найти все значения а, при которых один корень уравнения 2ах^2 - 2x - 3a - 2 = 0 больше 1, а другой меньше 1.

Answer 1

2a*x^2 - 2x + (-3a-2) = 0
Во-первых, отметим, что при а = 0 уравнение станет линейным:
-2x - 2 = 0; x = -1 - имеет единственный корень. Поэтому a ≠ 0.

Теперь решаем, как обычное квадратное уравнение.
D/4 = 1 - 2a(-3a-2) = 6a^2 + 4a + 1 > 0 при любом а.
Теперь находим x:
x1 = (1 - √(6a^2+4a+1))/(2a)
x2 = (1 + √(6a^2+4a+1))/(2a)
Один корень должен быть больше 1, а другой меньше 1.
Возможные варианты:

1)
{ (1 - √(6a^2+4a+1))/(2a) > 1
{ (1 + √(6a^2+4a+1))/(2a) < 1
Приводим к общему знаменателю
{ (1 - √(6a^2+4a+1) - 2a)/(2a) > 0
{ (1 + √(6a^2+4a+1) - 2a)/(2a) < 0

Если a < 0, то
{ 1 - √(6a^2+4a+1) - 2a < 0
{ 1 + √(6a^2+4a+1) - 2a > 0
Переносим корень отдельно
{ √(6a^2+4a+1) > 1 - 2a
{ √(6a^2+4a+1) > 2a - 1
Заметим, что при a < 0 будет 1 - 2a > 0; 2a - 1 < 0
Так как корень арифметический, то 2 неравенство верно при любом a < 0.
1 неравенство возводим в квадрат
6a^2 + 4a + 1 > 1 - 4a + 4a^2
Приводим подобные
2a^2 + 8a > 0
2a(a + 4) > 0
a < 0, поэтому a < -4

Если a > 0, то
{ 1 - √(6a^2+4a+1) - 2a > 0
{ 1 + √(6a^2+4a+1) - 2a < 0
Переносим корень отдельно
{ √(6a^2+4a+1) < 1 - 2a
{ √(6a^2+4a+1) < 2a - 1
Если a ∈ (0; 1/2), то 2a - 1 < 0, тогда 2 неравенство решений не имеет.
Если a > 1/2, то 1 - 2a < 0, тогда 1 неравенство решений не имеет.
Если a = 1/2, то оба неравенства решений не имеют.
√(6a^2+4a+1) < 0
Решений нет

2)
{ (1 - √(6a^2+4a+1))/(2a) < 1
{ (1 + √(6a^2+4a+1))/(2a) > 1
Приводим к общему знаменателю
{ (1 - √(6a^2+4a+1) - 2a)/(2a) < 0
{ (1 + √(6a^2+4a+1) - 2a)/(2a) > 0

Если a < 0, то
{ 1 - √(6a^2+4a+1) - 2a > 0
{ 1 + √(6a^2+4a+1) - 2a < 0
Переносим корень отдельно
Заметим, что при a < 0 будет 1 - 2a > 0; 2a - 1 < 0
{ √(6a^2+4a+1) < 1 - 2a
{ √(6a^2+4a+1) < 0
2 неравенство решений не имеет
Решений нет.

Если a > 0, то
{ 1 - √(6a^2+4a+1) - 2a < 0
{ 1 + √(6a^2+4a+1) - 2a > 0
Переносим корень отдельно
{ √(6a^2+4a+1) > 1 - 2a
{ √(6a^2+4a+1) > 2a - 1

Если a ∈ (0; 1/2), то 2a - 1 < 0, 2 неравенство верно при любом a > 0
1 неравенство возводим в квадрат
6a^2 + 4a + 1 > 1 - 4a + 4a^2
2a^2 + 8a > 0 - Это верно при любом a > 0.
Значит, a ∈ (0; 1/2)

Если a > 1/2, то 1 - 2a < 0, 1 неравенство верно при любом a > 0
2 неравенство возводим в квадрат.
6a^2 + 4a + 1 > 4a^2 - 4a + 1
2a^2 + 8a > 0 - Это верно при любом a > 0
Значит, a > 1/2

Если a = 1/2, то оба неравенства верны:
√(6a^2+4a+1) > 0

Ответ: a ∈ (-oo; -4) U (0; +oo)