Question

Сторона квадрата ABCD равна 4, точка пересечения диагоналей S, середина отрезка AB P, точка пересечения отрезков AC и PD M, точка пересечения отрезков BD и PC N. Найдите площадь четырехугольника PMSN

Answer 1

Разместим квадрат ABCD в координатной плоскости, совместив вершину А с началом координат. Если сторона квадрата равна 4, то координаты точек:
A(0 ; 0), B(0 ; 4), C(4 ; 4), D(4 ; 0), P(0 ; 2) т.к. Р - середина АВ.
Для нахождения координат точек M и N, составим уравнения прямых AC, BD, PD  и PC и найдем координаты их точек пересечения.

АС: y = x        BD: y = - x + 4      PD: y = - x/2 + 2      PC: y = x/2 + 2
M = AC∩PD:      приравниваем правые части соответствующих уравнений
                             x = - x/2 + 2
                             3x/2 = 2
                             x =4/3       y = 4/3
                             М(4/3 ; 4.3)
N = BD∩PC:      - x + 4 = x/2 + 2
                            3x/2 = 2
                             x = 4/3        y = - 4/3 + 4 = 8/3
                             N(4/3 ; 8/3)
Так как координаты х  этих точек одинаковы, то MN║AB.
Длина отрезка MN = 8/3 - 4/3 = 4/3
PS - средняя линия ΔABD, следовательно PS║AD, PS = AD/2 = 2
Значит, MN⊥PS.

Spmsn = PS · MN/2 = (2 · 4/3)/2 = 4/3