Question

Помогите решить олимпиаду

Answer 1

$\frac{9z+z^2}{3+ \sqrt{9+z} } -\frac{9z-z^2}{3+ \sqrt{9-z} }$
при
$z= \frac{ \sqrt{35}}{2}$

Решение
Упростим первую дробь
$\frac{9z+z^2}{3+ \sqrt{9+z} }=\frac{z(9+z)}{3+ \sqrt{9+z} }=\frac{z(9+z)(3- \sqrt{9+z} )}{(3+ \sqrt{9+z})(3- \sqrt{9+z} )}=\frac{z(9+z)(3- \sqrt{9+z} )}{3^2-( \sqrt{9+z})^2}=$$\frac{z(9+z)(3- \sqrt{9+z} )}{9-(9+z)}=\frac{z(9+z)(3- \sqrt{9+z} )}{-z}=-(9+z)(3- \sqrt{9+z})$

Упростим вторую дробь
$\frac{9z-z^2}{3- \sqrt{9-z} }=\frac{z(9-z)}{3- \sqrt{9-z} }=\frac{z(9-z)(3+ \sqrt{9-z} )}{(3+ \sqrt{9-z})(3- \sqrt{9-z} )}=\frac{z(9-z)(3+ \sqrt{9-z} )}{3^2-( \sqrt{9-z})^2}$$\frac{z(9-z)(3+ \sqrt{9-z} )}{9-(9-z)}=\frac{z(9-z)(3+ \sqrt{9-z} )}{z}=(9-z)(3+ \sqrt{9-z})$

Подставляем в исходное выражение
$\frac{9z+z^2}{3+ \sqrt{9+z} } -\frac{9z-z^2}{3+ \sqrt{9-z} } =-(9+z)(3- \sqrt{9+z})-(9-z)(3+ \sqrt{9-z})=$$-((9+z)(3- \sqrt{9+z})+(9-z)(3+ \sqrt{9-z}))=$$-(27+3z-9\sqrt{9+z}-z\sqrt{9+z}+27-3z+9\sqrt{9-z}-z\sqrt{9-z})=$$-(54-9\sqrt{9+z}-z\sqrt{9+z}+9\sqrt{9-z}-z\sqrt{9-z})=$$-(54-(9+z)\sqrt{9+z}+(9-z)\sqrt{9-z}))=$$-54+(9+z)\sqrt{9+z}-(9-z)\sqrt{9-z}=(\sqrt{9+z})^3-(\sqrt{9-z})^3-54=$$(\sqrt{9+z}-\sqrt{9-z})(9+z+\sqrt{9+z}*\sqrt{9-z}+9-z)-54=$$(\sqrt{9+z}-\sqrt{9-z})(18+\sqrt{81-z^2})-54$

Подставляем значение переменной z=√(35)/2

$\sqrt{81-z^2}= \sqrt{81- \frac{35}{4}}=\sqrt{\frac{81*4-35}{4}}=\sqrt{\frac{289}{4}}= \frac{17}{2}$

$\sqrt{9+z}=\sqrt{9+ \frac{ \sqrt{35} }{2} }=\frac{1}{2} \sqrt{36+ 2\sqrt{35}}=\frac{1}{2} \sqrt{(\sqrt{35})^2 + 2\sqrt{35}+1^2}=$$\frac{1}{2} \sqrt{(\sqrt{35}+1)^2}=\frac{1}{2}(\sqrt{35}+1)$

$\sqrt{9-z}=\sqrt{9- \frac{ \sqrt{35} }{2} }=\frac{1}{2} \sqrt{36- 2\sqrt{35}}=\frac{1}{2} \sqrt{(\sqrt{35})^2 - 2\sqrt{35}+1^2}=$$\frac{1}{2} \sqrt{(\sqrt{35}-1)^2}=\frac{1}{2}(\sqrt{35}-1)$

$(\sqrt{9+z}-\sqrt{9-z})(18+\sqrt{81-z^2})-54=$
$(\frac{ \sqrt{35}+1}{2}-\frac{ \sqrt{35}-1 }{2})(18+ \frac{17}{2})-54 = \frac{36+17}{2}-54= \frac{53}{2}-54=-27,5$